몫군(Quotient group)

$N$ 에 대한 right coset 의 집합 $G/N$ 은 적절한 연산 하에 군이 될 수 있습니다. 이 글에서는 $G/N$ 이 군이 될 수 있음을 보이기 위해 필요한 것을 소개하려 합니다.

 

군 $G$ 와 normal subgroup $N$ 에 대해 $Na = Nc$ 이고 $Nb = Nd$ 이면 $Nab = Ncd$ 이다.

 

Proof

$Na = Nc$ 이면 $a \equiv c \mod N$ 입니다. 또, $b \equiv d \mod N$ 이므로 $ab \equiv cd \mod N$ 이 성립합니다. 따라서 $Nab = Ncd$ 입니다.

 

위 정리는 다음과 같은 연산이 잘 정의됨을 보장합니다. $$(Na)(Nb) = Nab$$

 

군 $G$ 와 normal subgroup $N$ 에 대해 $G/N$ 은 $$(Na)(Nb)=Nab$$ 로 정의하는 연산에 대해 군이다. $G$ 가 아벨군이라면 $G/N$ 도 아벨군이다.

 

Proof

$Ne$ 가 $G/N$ 의 항등원이 됨은 쉽게 보일 수 있습니다. 또, $Na$ 의 역원 $Na^{-1}$ 이 존재하고 나머지 군의 조건 또한 쉽게 보일 수 있습니다. $G$ 가 아벨군이라면 $a, b \in G$ 에 대해 $ab = ba$ 이므로 $$(Na)(Nb) = Nab = Nba = (Nb)(Na)$$ 가 되므로 $G/N$ 도 아벨군이 됩니다.

 

이 때 $G/N$ 을 몫군(Quotient group)이라 합니다.

 

군 $G$ 와 normal subgroup $N$ 에 대해 $G/N$ 이 아벨군인 것은 $$aba^{-1}b^{-1} \in N \;\text{ for all }\; a, b \in G$$ 와 동치이다.

 

Proof

$G/N$ 이 아벨군이려면 $$Nab =(Na)(Nb) = (Nb)(Na) = Nba \;\text{ for all }\; a, b \in G$$ 가 성립해야 합니다. 그런데 $Nab = Nba$ 이면 $ab \equiv ba \mod N$ 이고, 따라서 $(ab)(ba)^{-1} = aba^{-1}b^{-1} \in N$ 이어야 합니다. 따라서 증명이 완성됩니다.

 

또, normal subgroup 이 교환법칙보다 약한 조건을 가졌던 것과 다르게, 실제로 교환법칙이 만족하는 집합을 생각하는 경우도 있습니다. 즉, $$Z(G) = \{ a \in G \vert ax = xa \text{ for every } x \in G\}$$ 인 집합 $Z(G)$ 처럼 정의하고, $Z(G)$ 를 $G$ 의 center 라고 합니다. 또, 이는 자명하게 $G$ 의 normal subgroup 이 됩니다.

 

 

군 $G$ 에 대해 $G/Z(G)$ 가 순환군(Cyclic group)이라면 $G$ 는 아벨군이다.

 

Proof

표기의 단순함을 위해 $C= Z(G)$ 라 정의하겠습니다. $G / C$ 가 cyclic group 이므로, generator $Cd$ 가 존재하여 $G/C$ 의 모든 원소가 $(Cd)^k = Cd^k$ 꼴이어야 합니다. 이제 임의의 $a, b \in G$ 를 선택하면 $a \in Ca$ 이고 어떤 $i \in \mathbb{Z}$ 에 대해 $Ca = Cd^i$ 이므로 어떤 $c_1 \in C$ 에 대해 $a = c_1 d^i$ 를 얻습니다. 마찬가지로 어떤 $c_2 \in C$ 와 $j \in \mathbb{Z}$ 에 대해 $b = c_2 d^j$ 입니다. 그런데 $d^i d^j = d^{i+j} = d^{j+i} = d^j d^i$ 이고 $c_1, c_2 \in C$ 는 center 의 정의에 의해 교환법칙이 성립하므로 $$ab = (c_1 d^i)(c_2 d^j) = c_1 c_2 d^i d^j = c_2 c_1 d^j d^i = (c_2 d^j)(c_1 d^i) = ba$$ 가 되어 $G$ 가 아벨군이 됩니다.