군에서의 합동

 

군 $G$ 와 그 부분군 $K$ 에 대해 $a, b \in G$ 가 $K$ 에 대해 합동이라는 것은, $$ab^{-1} \in K$$ 를 의미하고 $a \equiv b \mod K$ 로 쓴다.

군의 합동에서도 일반적인 합동에서 성립하는것과 같이 좋은 성질이 있습니다.

 

군 $G$ 와 그 부분군 $K$ 에 대해 다음이 성립한다. (a) 모든 $a \in G$ 에 대해 $a \equiv a \mod K$ (b) $a \equiv b \mod K$ 이면 $b\equiv a \mod K$ (c) $a \equiv b \mod K$ 이고 $b \equiv c \mod K$ 이면 $a \equiv c \mod K$

 

이에 대한 증명은 어렵지 않으므로 생략하겠습니다.

 

군 $G$ 와 부분군 $K$, $a \in G$ 에 대해, $a$ 의 법 $K$에 대한 동치류(congruence class)는 $a$ 와 법 $K$ 에 대해 합동인 모든 원소를 모은 집합으로, 다음처럼 서술할 수 있습니다. $$\begin{align*} \{ b \in G \vert b \equiv \mod K \} &= \{ b \in G \vert ba^{-1}\in K \} \\ &= \{ b \in G \vert ba^{-1} = k \text{ with } k \in K\} \\ &= \{ b \in G \vert b = ka \text{ with } k \in K \} = \{ ka \vert k \in K \} \end{align*}$$ 마지막 서술 방식을 보면, $a$ 의 법 $K$ 에 대한 동치류를 $Ka$ 라고 적는 것이 합리적이라 생각될 수도 있겠습니다. 

 

$a$ 의 법 $K$ 에 대한 동치류를 $Ka$ 라 적고, 이를 $G$ 안의 $K$ 에 대한 right coset 이라 부르기도 합니다. $G$ 안의 $K$ 에 대한 모든 right coset 의 집합, 즉 법 $K$ 에 대한 모든 동치류의 집합을 $G/K$ 처럼 적습니다.

 

만약 군 $G$ 에서의 연산이 $+$ 로 정의된다면, right coset 를 $K + a$ 처럼 적어도 됩니다.

 

만약 $G$ 가 아벨군이라면, $Ka$ 와 $aK = \{ ak \vert k \in K \}$ ($K$ 에 대한 left coset)는 같은 집합이 됩니다. 따라서 일반적으로는 right coset 과 left coset 이 다를 수 있습니다.

 

군 $G$ 와 부분군 $K$, $a, c \in G$ 에 대해 $$a \equiv c \mod K \quad \Leftrightarrow \quad Ka = Kc$$ 가 성립한다.

 

Proof

우선 $a, c$ 가 $K$ 에 대해 합동이라고 가정하겠습니다. 그렇다면 임의의 $b \in Ka$ 에 대해 $$b \equiv a \mod K \\ a \equiv c \mod K$$ 이므로 $b \equiv c \mod K $이고, 따라서 $b \in Kc$ 가 되어 $Ka \subseteq Kc$ 입니다. 마찬가지로 $Kc \subseteq Ka$ 이므로 $Ka = Kc$ 입니다.

 

만약 $Ka = Kc$ 라면, $a \in Ka$ 는 자명하고 $Ka = Kc$ 에서 $a \in Kc$ 이므로 $a \equiv c\mod K$ 입니다.

 

위 정리의 따름정리로 다음을 얻습니다.

 

군 $G$ 와 부분군 $K$ 에 대한 두 right coset 은 완전히 같거나, 겹치는 원소가 없다.

 

이에 대한 증명은 어렵지 않으므로 생략하겠습니다.

 

여기까지만 보면 환과 그 아이디얼에 대한 합동과 굉장히 유사하다고 생각될 수 있습니다. 그러나 군에서는 교환법칙이 항상 성립하는 것은 아니기 때문에, 아이디얼에 대한 합동에서 성립한다고 해서 군에서는 반드시 성립하게 되는 것은 아니니 주의를 기울일 필요가 있습니다.