정규 부분군(Normal subgroup)

군 $G$ 의 부분군 $N$ 이 있을 때, 모든 $a \in G$ 에 대해 $$Na = aN$$ 이 성립한다면, $N$ 을 normal subgroup 이라 부른다.

 

위 정의는 $N$ 의 모든 원소에 대해 교환법칙이 성립한다는 의미가 아닙니다. 즉, 모든 $n \in N$ 에 대해 $an = na$ 가 성립하지는 않습니다. 위 정의로부터 말할 수 있는 것은 $n \in N$ 에 대해 $na \in Na$ 라면 $na \in aN$ 인 것 뿐이므로 교환법칙보다는 약한 조건이지만, 그것과 아예 관련이 없지는 않습니다.

 

군 $G$ 와 그 normal subgroup $N$ 에 대해, $$a \equiv b \mod N \\ c \equiv d \mod N$$ 이라면 $$ac \equiv bc \mod N$$ 이 성립한다.

 

Proof

합동의 정의에 의해 어떤 $m, n \in N$ 이 존재하여 $ab^{-1} =m$ 이고 $cd^{-1}= n$ 입니다. 여기서 $(ac)(bd)^{-1} = acd^{-1}b^{-1} = anb^{-1}$ 인데, $N$ 이 normal subgroup 이므로 어떤 $n_1 \in N$ 이 존재하여 $an = n_1 a$ 입니다. 따라서 $(ac)(bd)^{-1} = anb^{-1} = n_1 ab^{-1} = n_1 m \in N$ 이고, 따라서 $$ac \equiv bd \mod N$$ 가 증명됩니다.

 

군 $G$ 와 그 subgroup $N$ 에 대해, 다음 명제가 동치이다. (a) $N$ 이 $G$ 의 normal subgroup 이다. (b) $a \in G$ 에 대해, 집합 $a^{-1}Na = \{ a^{-1}na \vert n \in N \} \subset N$ 이다. (c) $a \in G$ 에 대해, $a^{-1}Na = N$ 이다.

 

Proof

(a) 를 가정하고 (b) 를 보이겠습니다. 그를 위해서는 $n \in N$ 에 대해 $a^{-1}na \in N$ 임을 보이면 됩니다. $na$ 는 right coset $Na$ 의 원소이고, $N$ 이 normal subgroup 이라 가정했으므로 $na = an_1$ 인 $n_1 \in N$ 이 존재합니다. 따라서 $$a^{-1}na = a^{-1}an_1 = n_1 \in N$$ 이 되어 $a^{-1}Na \in N$ 입니다.

 

(b) 를 가정하고 (c) 를 보이겠습니다. $a^{-1}Na \in N$ 이 모든 $a \in G$ 에 대해 성립하므로 $a$ 대신 $a^{-1}$ 을 대입하면 $aNa^{-1} \in N$ 을 얻을 수 있습니다. 따라서 임의의 $n \in N$ 에 대해 $ana^{-1} = n_1$ 인 $n_1 \in N$ 이 존재합니다.

 

그런데 임의의 $n \in N$ 에 대해 $n = a^{-1}(ana^{-1})a$ 이고, $ana^{-1} = n_1 \in N$ 인 $n_1$ 이 존재합니다. 따라서 $n = a^{-1}n_1 a \in a^{-1}Na$ 이고 따라서 $N \subset a^{-1}Na$ 입니다. 그러므로 가정에 의해 $N = a^{-1}Na$ 가 성립합니다.

 

(c) 를 가정하고 (a) 를 보이겠습니다. 어떤 $n \in N$ 에 대해 $a^{-1}na \in a^{-1}Na = N$ 이므로 어떤 $n_1 \in N$ 에 대해 $a^{-1}na = n_1$ 입니다. 양 변의 좌측에 $a$ 를 곱하면 $na = an_3 \in aN$ 을 얻고, 따라서 $Na \subseteq aN$ 입니다. 그리고 $N = (a^{-1})^{-1}Na^{-1}=aNa^{-1}$ 이므로 같은 방식으로 증명할 수 있습니다.