케일리 정리(Cayley's Theorem)

케일리 정리는 사람 이름이 붙은 정리가 흔히 그렇듯 중요한 정리입니다.

 

군 $G$ 는 $A(G)$ 의 부분군과 isomorphic 하다.

 

Proof

$A(G)$ 가 $f : G \to G$ 인 전단사함수 $f$ 의 집합이라는 사실을 상기하고 시작하겠습니다. 위 정리를 증명하기 위해서는 $A(G)$ 의 부분군 중 $G$ 와 isomorphic 한 것을 찾아야 합니다. 이를 위해 $f : G \to A(G)$ 인 homomorphism $f$ 가 단사함수일 때, $G \cong \text{Im}f$ 가 성립함을 이용하겠습니다.

 

만약 $a \in G$ 라면, $\varphi_a : G \to G$ 를 $\varphi_a (x) = ax$ 처럼 정의할 때 $\varphi_a$ 가 전단사함수가 됨을 보이겠습니다. 만약 $b \in G$ 라면 $$\varphi_a (a^{-1}b) = a(a^{-1}b) =b$$ 이므로 $\varphi_a$ 는 전사함수이고, $\varphi_a (b) = \varphi_a (c)$ 라면 $ab = ac$ 에서 $b = c$ 이므로 $\varphi_a$ 는 단사함수입니다. 따라서 $\varphi_a \in A(G)$ 입니다.

 

이제 $f : G \to A(G)$ 를 $f(a) = \varphi_a$ 로 정의하겠습니다. 이 때 $f(ab) = \varphi_{ab}$ 는 $\varphi_{ab}(x) = abx$ 이고, $f(a) \circ f(b) = \varphi_a \circ \varphi_b$ 는 $(\varphi_a \circ \varphi_b)(x) = \varphi_a (bx) = abx$ 이므로 $f(ab) = f(a) \circ f(b)$ 이게 되어 $f$ 는 군 사이의 homomorphism 입니다.

 

만약 $f(a) = f(c)$ 라면, 모든 $x \in G$ 에 대해 $\varphi_a (x) = \varphi_c (x)$ 가 되어야 합니다. 그러면 $a = ae = \varphi_a (e) = \varphi_c (e) =ce = c$ 이므로 $f$ 는 단사함수가 됩니다.

 

따라서 $G$ 는 $A(G)$ 의 부분군인 $\text{Im} f$ 와 isomorphic 합니다.

 

 

위 정리의 따름정리로 다음을 얻을 수 있습니다.

 

군 $G$ 가 order $n$ 을 갖는 유한군일 때, $S_n$ 의 부분군과 isomorphic 하다.

 

Proof

군 $G$ 는 $A(G)$ 의 어떤 부분군 $H$ 와 isomorphic 함이 케일리 정리에 의해 보장됩니다. 그런데 $G$ 의 order 가 $n$ 이므로 $A(G)$ 는 $S_n$ 과 isomorphic 합니다. 따라서 $H$ 는 $S_n$ 의 어떤 부분군 $K$ 와 isomorphic 합니다. 그러므로 $G\cong K$ 가 성립합니다.

 

위의 증명에서는 몇 가지의 공백을 자연스럽게 뛰어넘었고, 그 공백은 다음과 같습니다.

 

 

(a) $G$ 의 order 가 $n$ 이면 $A(G)$ 와 $S_n$ 은 isomorphic 하다.

(b) 군 $G$ 와 $H$ 가 isomorphic 하면 $G$ 의 부분군 $P$ 와 isomorphic 한 $H$ 의 부분군 $Q$ 가 있다.

(c) 군 $A, B, C$ 에 대해 $A \cong B$ 이고 $B \cong C$ 이면 $A \cong C$ 이다.

 

이제 이들 각각을 증명하겠습니다.

 

Proof

 

(a) $G$ 의 order 가 $n$ 이므로, 각각의 원소에 $1, 2, 3, \cdots, n$ 의 이름을 붙일 수 있습니다. 그렇다면 $A(G)$ 는 정의에 의해 $S_n$ 과 isomorphic 합니다.

 

(b) 서로 isomorphic 한 군 $G$ 와 $H$ 에 대해 isomorphism $f$ 를 생각하겠습니다. 이 때, $G$ 의 부분군 $T$ 에 대하여 $$K = \{ f(a) \vert a \in T\}$$ 라 두면, $K$ 가 $H$ 의 부분군이고 $T$ 와 $K$ 가 isomorphic 함을 쉽게 보일 수 있습니다.

 

(c) 군 $A, B, C$ 에 대해 $A \cong B$ 이면 $f : A \to B$ 인 isomorphism $f$ 가 존재하고, 마찬가지로 $B \cong C$ 일 때 isomorphism $g$ 가 존재합니다. 이 때 $f \circ g : A \to C$ 가 isomorphism 이 됨을 쉽게 보일 수 있습니다. 따라서 $A \cong C$ 입니다.

 

군 $G$ 에서 $A(G)$ 로 가는 homomorphism 을 $G$ 의 표현(representation of $G$)이라 하고, 케일리 정리를 증명하며 사용했던 $f(a) = \varphi_a $, $\varphi_a (x) = ax$ 를 $G$ 의 Left regular representation 이라 부릅니다.

 

반대로, $g(a) = \theta_a$, $\varphi_a (x) =xa^{-1}$ 을 $G$ 의 right regular representation 이라 부릅니다.