부분군(Subgroup)

 

군 $G$ 의 부분집합 $H$ 에 대해, $H$ 가 $G$ 와 같은 연산에 대하여 군을 이룰 경우 $H$ 을 부분군이라 한다.

 

모든 군은 자명한 부분군 자기 자신 $G$ 와 $\{e\}$ 를 가집니다. 따라서 이 둘을 제외한 부분군에 대해서 proper subgroup 이라는 이름이 붙어있습니다.

 

군 $G$ 의 부분집합 $H$ 가 군인지 확인하기 위해서는 몇 가지 조건만 추가로 확인하면 됩니다.

군 $G$ 의 공집합이 아닌 부분집합 $H$ 가 부분군인 것과 다음 두 조건을 만족하는 것은 동치이다. (a) $a, b \in H$ 이면 $ab \in H$ (b) $a \in H $ 이면 $a^{-1} \in H$

 

증명은 어렵지 않으므로 생략하겠습니다. 만약 $G$ 가 유한군이라면, 조건은 더 단순화할 수 있습니다.

 

$H$ 가 공집합이 아닌 유한군 $G$ 의 부분집합이라면, $H$ 가 부분군인 것은 다음 명제와 동치이다. (a) $a, b\in H$ 이면 $ab \in H$

 

Proof

바로 위의 정리에 의해 $H$ 의 모든 원소가 역원을 가진다는 것만 보이면 충분합니다. $H$ 는 공집합이 아니므로 어떤 $a \in H$ 가 존재하고, (a) 조건에 의해 모든 양의 정수 $k$ 에 대해 $a^k \in H$ 입니다. 그런데 $H$ 는 유한하므로 $a^k$ 도 유한한 개수만 존재해야 하고, 따라서 $a$ 는 finite order $n$ 을 가져서 $a^n =e$ 가 성립해야 합니다. 그러면  $a^{-1} = a^{n-1}$ 이고, $a^{n-1} \in H$ 이므로 $a$ 의 역원이 $H$ 의 원소가 되어 증명이 완성됩니다.

 

위 정리의 증명을 잘 보면, 다음과 같은 중요한 부분군을 정의할 수 있습니다.

 

군 $G$ 와 $a \in G$ 에 대해 $$\langle a \rangle = \{a^n \vert n \in \mathbb{Z}\}$$ 는 부분군이다.

 

$\langle a \rangle$ 이 부분군인 것에 대한 증명은 어렵지 않으므로 생략하겠습니다. 위와 같은 부분군을 $a$ 에 의해 만들어진 순환부분군(Cyclic subgroup)이라 부르고 $G= \langle a \rangle$ 이라면 $G$ 를 순환군(Cyclic group)이라 부릅니다. 또, $a$ 를 생성자(generator)라 합니다.

 

군 $G$ 와 $a \in G$ 에 대해 다음이 성립한다. (a) $a$ 가 infinite order 를 가지면, $\langle a\rangle$ 는 무한히 많은 원소를 가지는 부분군이다. (b) $a$ 가 finite order $n$ 을 가지면 $\langle a \rangle$ 는 order 가 $n$ 인 유한부분군이고 $$\langle a \rangle = \{e = a^0, a^1, a^2, \cdots, a^{n-1}\}$$ 처럼 구성된다.

 

Proof

(a) 의 증명은 어렵지 않으므로 생략하겠습니다.

 

(b) $\langle a \rangle$ 의 원소 $a^i$ 에 대해 , $i$ 는 $0, 1, 2, \cdots, n-1$ 중 하나와 법 $n$ 에 대해 합동입니다. 따라서 $a^0, a^1, a^2, \cdots a^{n-1}$ 중 하나와 같습니다. 또, $a^0, a^1, a^2, \cdots, a^{n-1}$ 중 같은 원소가 없으므로 $$\langle a \rangle = \{a^0 = e, a^1, a^2, \cdots, a^{n-1}\}$$ 이 성립합니다.

 

순환군 $G$ 의 모든 부분군은 순환군이다.

 

Proof

$G = \langle a \rangle$ 이라 두고, $G$ 의 부분군 $H$ 를 생각하겠습니다. 만약 $H = \langle e \rangle$ 이면 $H$ 는 자명하게 순환부분군이 됩니다. 이제 $H \neq \langle e \rangle$ 일 때를 보겠습니다.

 

$H$ 는 $e$ 가 아닌 어떤 원소 $a^i$ 를 가지게 됩니다. ($i \neq 0$) 그런데 $H$ 는 부분군이므로 $a^{-i}$ 도 $H$ 의 원소입니다. $i, -i$ 중 하나는 양수이므로, $H$ 는 $a$ 의 양수 거듭제곱을 원소로 갖습니다. 이제 $k$ 를 $a^k \in H$ 인 최소의 양의 정수로 잡겠습니다.

 

만약 $h \in H$ 라면, $h \in G$ 이므로 어떤 $m$ 에 대해 $a^m = h$ 입니다. 나눗셈 정리에 의해 $m = kq + r$ (단, $0 \leq r < k$) 이므로 $$a^r  = a^{m-kq} = a^m (a^k)^{-q}$$ 입니다. 그런데 $a^m \in G$ 이고 $a^k \in G$ 이므로 $a^r \in G$ 입니다. 그런데 $k$ 는 $a^k \in G$ 인 최소의 양의 정수 $k$ 이고 $r < k$ 이므로 $r = 0$ 입니다. 즉, $m = kq$ 이고, $h = a^m = (a^k)^q$ 가 되어 $h \in \langle a^k \rangle$ 입니다. 따라서 $H = \langle a^k \rangle$ 이 성립합니다.

 

$S$ 가 군 $G$ 의 공집합이 아닌 부분집합일 때, $\langle S \rangle$ 는 다음처럼 정의합니다. $$\langle S \rangle = \{ a_1 a_2 \cdots a_k \vert a_i \text{ or } a_i^{-1} \in S \text{ for all } i = 1, 2, \cdots, k\}$$ 이 때, 다음 명제가 성립한다. (a) $\langle S \rangle$ 는 $S$ 를 부분집합으로 갖는 $G$ 의 부분군이다. (b) $H$ 가 $S$ 를 부분집합으로 갖는 $G$ 의 부분군이라면, $H$ 는 $\langle S \rangle$ 을 부분집합으로 갖는다.

 

Proof

(a) $\langle S \rangle$ 이 $S$ 를 부분집합으로 갖는 것은 정의에 의해 자명합니다. 만약 $a, b\in \langle S \rangle$ 이면 $$a = a_1 a_2 \cdots a_k \\ b = b_1 b_2 \cdots b_t$$ 처럼 쓸 수 있습니다. (단, $a_i, b_j$ 는 $S$ 의 원소이거나, 그 역원이 $S$ 의 원소) 그렇다면 $$ab = a_1 a_2 \cdots a_k b_1 b_2 \cdots b_t$$ 이므로 $ab \in \langle S \rangle $ 입니다. 또, $$a^{-1} = a_1^{-1}a_2^{-1}\cdots a_k^{-1}$$ 이므로 $a^{-1} \in \langle S\rangle$ 입니다. 따라서 $\langle S \rangle$ 는 $G$ 의 부분군입니다.

 

(b) $S$ 를 부분집합으로 갖는 부분군 $H$ 는 $S$ 의 원소의 역원도 원소로 갖습니다. 또, $H$ 는 연산에 대해 닫혀있으므로 $H$ 는 $\langle S \rangle$ 의 모든 원소를 원소로 갖습니다. 따라서 $H$ 는 $\langle S \rangle$ 를 부분집합으로 갖습니다.