군 더 알아보기

군 $G$ 와 $a, b, c\in G$ 에 대해 다음이 성립한다. (a) $G$ 의 항등원은 유일하다. (b) $ab = ac$ 이면 $b = c$ 이고, $ba = ca$ 라면 $b = c$ 이다. (c) $a$ 의 역원은 유일하다.

 

Proof

(a) 군의 정의에 의해 $G$ 는 적어도 하나의 항등원 $e$ 를 가집니다. 만약 또 다른 항등원 $e'$ 이 존재한다면 $$e' = ee' = e$$ 이므로 항등원은 유일합니다.

 

(b) 군의 정의에 의해 $a$ 는 적어도 하나의 역원 $d$ 를 가져 $ad = e = da$ 입니다. 따라서 $ab = ac$ 이면 $$(da)b = (da)c \\ eb = ec \\ b = c$$ 가 되고, 같은 방법으로 나머지도 증명할 수 있습니다.

 

(c) $a \in G$ 의 두 역원 $d, d'$ 이 존재한다면 $$ad = e = ad' \;\Rightarrow\; d = d'$$ 이 되어 $a$ 의 역원은 유일합니다.

 

역원이 유일함을 보였으므로, 이제 $ax = e = xa$ 인 $x$ 를 $a^{-1}$ 처럼 적을 수 있습니다.

 

위 정리의 따름정리로 다음을 얻습니다. 

 

군 $G$ 와 $a, b \in G$ 에 대해 다음이 성립한다. (a) (ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1} (b) (a^{-1})^{-1} = a

 

Proof

(a)$$(ab)(b^{-1}a^{-1}) = a(bb^{-1})a^{-1} = e$$ 이므로 증명됩니다.

 

(b) $a^{-1}a = e = (a^{-1})(a^{-1})^{-1}$ 이므로 $a = (a^{-1})^{-1}$ 이 되어 증명됩니다.

 

군 $G$ 와 $a \in G$, 양의 정수 $n$ 에 대해 $$a^n= aaa\cdots a$$ 처럼 정의합니다. 또 $a^0 = e$ 이고, $$a^{-n}=a^{-1}a^{-1}a^{-1}\cdots a^{-1}$$ 과 같이 정의합니다.

 

이런 방식으로 지수를 정의하면 흔히 아는 지수법칙이 성립하게 됩니다.

 

군 $G$ 와 $a \in G$, 그리고 임의의 정수 $m, n$ 에 대해 $$a^m a^n = a^{m+n}\quad \text{ and }\quad (a^m)^n = a^{mn}$$

 

증명은 어렵지 않으므로 생략하겠습니다.