환의 Isomorphism Theorems

흔히 불리우는 순서대로, First Isomorphism Theorem 을 소개하겠습니다.

$f : R \to S$ 가 환 사이의 전사함수인 homomorphism 이고, Kernel $K$ 를 가질 때 $$R/K \cong S$$ 이다. 즉 $R/K$ 와 $S$ 는 isomorphic 하다.

 

위 정리는 환 $R$ 의 모든 homomorphic image 는 어떤 아이디얼 $K$ 에 대해 $R/K$ 와 isomorphic 함을 의미합니다. 여기서 아이디얼 $K$ 는 $R$ 에서 homomorphic image 로 mapping 될 때 얼마나 많은 '정보의 손실'이 일어나는지 처럼 생각할 수 있는데, $K = \{0_R\}$ 이면 $f$ 는 isomorphism 이 되고, 구조는 그대로 보존됩니다. 반대로 $K$ 가 커지면 커질수록, 더 많은 원소의 정보가 손실되는 것처럼 보입니다.

 

Proof

만약 $r + K = t + K$ 이면 $r - t \in K $ 입니다. 따라서 $f$ 가 homomorphism 이므로 $$f(r) - f(t) = f(r - t) = 0_S$$ 이고, $r + K = t + K$ 이면 $f(r) = f(t)$ 이게 됩니다. 이는 함수 $\varphi : R/K \to S$ 를 $$\varphi (r + K )= f(r)$$ 처럼 정의해도 문제가 되지 않음을 의미합니다.

 

만약 $s \in S$ 라면, $f$ 는 전사함수이므로 어떤 $r \in R$ 이 존재하여 $f(r) = s$ 입니다. 따라서 $$s = f(r) = \varphi (r + K)$$ 이고, 그러므로 $\varphi $ 는 전사함수입니다. 만약 $$\varphi (r + K) = \varphi (s + K)$$ 이면 $f(r) = f(c)$ 이고, $0_S = f(r) - f(c) = f(r - c)$ 가 되어 $r - c \in K$ 입니다. 그런데 이는 $r + K = c+ K $ 임을 의미하므로 $\varphi $ 는 단사함수입니다. 따라서 $\varphi$ 는 전단사함수이고, $$\begin{align*} \varphi [(c+K)(d+K)] &= \varphi (cd + K) = f(cd) = f(c) f(d) \\ &= \varphi (c + K) \varphi (d + K) \\ \varphi [(c+K)+(d+K)] &= \varphi [(c+d) + K] = f(c+d) = f(c) + f(d) \\ &= \varphi (c + K) + \varphi (d + K)\end{align*}$$ 이므로 $\varphi$ 는 homomorphism 입니다. 따라서 $\varphi : R/K \to S$ 는 isomorphism 이고, $$R/K \cong S$$ 가 성립합니다.

 

 

First Isomorphism Theorem 은 몫환(Quotient ring) 의 구조를 파악하는 것에 큰 도움이 됩니다.

 

Second Isomorphism Theorem 은 다음과 같습니다.

 

환 $R$ 과 두 아이디얼 $I, J$ 에 대해 다음이 성립한다. (a) $I\cap J$ 는 $I$ 의 아이디얼이다. (b) $J$ 는 $I + J$ 의 아이디얼이다. (c) $\dfrac{I}{I\cap J} \cong \dfrac{I+J}{J}$ 이다.

 

여기서 두 집합 $S, T$ 에 대해 $$S + T = \{s + t \vert s \in S, t \in T\}$$ 로 정의합니다.

 

Proof

(a) 임의의 $j \in I \cap J$ 와 $i \in I$ 를 잡은 뒤, $ij$ 와 $ji$ 가 각각 $I \cap J$ 의 원소임을 보이면 됩니다. $j \in J$ 이고 $i \in R$ 이므로 $ij, ji \in J$ 이고 같은 이유로 $ij, ji \in I$ 가 되어 $ij, ji \in I \cap J$ 입니다.

 

(b) 임의의 $j \in J$ 와 $k \in I + J$ 를 잡은 뒤, $jk, kj \in I \cap J$ 임을 보이면 됩니다.

 

우선 $j \in J$ 이며 $k \in R$ 이므로 $jk, kj \in J$ 입니다. 또, 정의에 의해 어떤 $a \in I$ 와 $b \in J$ 가 존재하여 $k = a+b$ 인데, $aj, ja \in I$ 이고 $bj, jb \in J$ 이므로 $jk = j(a + b) = ja + jb \in I + J$ 이고, 마찬가지로 $kj \in I + J$ 가 되어 증명됩니다.

 

(c) $f : I \to (I+J)/J$ 를 $f(a) = a+J$ 라 정의하겠습니다.

 

그러면 임의의 $k \in (I+J)/J$ 에 대해, $k$ 는 어떤 $i \in I, j \in J$ 에 대해 $k = (i + j) + J$ 를 만족합니다. 그런데 $j \in J$ 이므로 $k = f(i)$ 이고, 따라서 $f$ 는 전단사함수입니다. $$\begin{align*}f(a + b) &= (a + b)+ J = (a + J) + (b +J) = f(a) + f(b) \\ f(ab) &= ab + I = (a + I) (b+ I) = f(a) f(b)\end{align*}$$ 이므로 $f$ 는 homomorphism 입니다.

 

$f(a) = a + J = 0_{(I+J)/J} = 0_J + J$ 이면 $$a \equiv 0_J \mod J \;\Rightarrow\; a \in J$$ 이므로 $f$ 의 Kernel 은 $I\cap J$ 가 됩니다.

 

이제 $f$ 에 First Homomorphism Theorem 을 적용하면 $$\dfrac{I}{I\cup J} \cong \frac{I+J}{J}$$ 를 얻어 증명이 완료됩니다.

 

 

이제 마지막으로 Third Isomorphism Theorem 을 소개하겠습니다.

 

환 $R$ 의 아이디얼 $I, K$ 에 대해 $K \subseteq I$ 라 하자. 이 때 다음이 성립한다. (a) $I/K$ 는 $R/K$ 의 아이디얼이다. (b) $(R/K)/(I/K) \cong R/I$ 이다.

 

(a) 임의의 $i \in I /K$ 와 $r \in R /K$ 에 대해 $ri, ir \in I/K$ 를 보이면 됩니다.

 

어떤 $a \in I$ 와 $b \in R$ 에 대해 $i = a + K$ 이고 $r = b + K$ 입니다. 이 때 $ab, ba \in I$ 는 $I$ 가 아이디얼이므로 당연합니다. 따라서 $$ir = (a + K)(b+K) = ab+ K \in I/K$$ 이고, 마찬가지로 $ri \in I/K$ 가 되어 증명됩니다.

 

(b) $f: R/K \to R/I$ 를 $r\in R$ 에 대해 $$f(r+K) = r+I$$ 로 정의하겠습니다. 이 때 $f$ 의 정의에 의해 전단사함수임이 보장됩니다. 또, $$\begin{align*}f((a + K) + (b + K)) &= f((a + b)+K)  \\ &= (a+b)+I = (a+I)+(b+I) = f(a+K)+f(b+K) \\ f((a+K)(b+K)) &= f(ab + K) = ab + I \\ &= (a + I)(b+I) = f(a+K)f(b+K)\end{align*}$$ 이므로 $f$ 는 homomorphism 입니다.

 

만약 $f(r + K) = r+I = 0_{R}+I$ 라면, $$r \equiv 0_R \mod I \;\Rightarrow\; r \in I$$ 이므로 $r + K \in I/K$ 가 됩니다. 따라서 $f$ 의 Kernel 은 $I/K$ 이고, 여기에 First Isomorphism Theorem 을 적용하면 $$(R/K)/(I/K) \cong R/I$$ 를 얻습니다.