Irreducible 한 동치류

 

체 $F$ 와 상수가 아닌 $p(x) \in F[x]$ 에 대해, 아래 명제는 서로 동치이다. (a) $p(x)$ 는 $F[x]$ 위에서 irreducible 하다 (b) $F[x]/(p(x))$ 는 체다. (c) $F[x]/(p(x))$ 는 정역이다.

 

Proof

(a) 를 가정하고 (b) 를 보이겠습니다. $p(x)$ 가 irreducible 하므로 $a(x) \in F[x]$ 에 대해 $\gcd (a(x) , p(x))$ 는 $1_F$ 이거나 $p(x)$ 와 associate 한 모닉다항식입니다. 따라서 만약 $p(x) \not\mid a(x)$ 라면 $\gcd(a(x), p(x)) = 1_F$ 이어야 합니다. 이 때 어떤 $u(x), v(x) \in F[x]$ 가 존재하여 $$a(x)u(x) + p(x)v(x) = 1_F$$ 가 성립하고, 그러므로 $$a(x)u(x) \equiv 1 \mod p(x)$$ 가 되어 $[au] = [1_F]$ 가 됩니다. 따라서 $[a][u] = [1_F]$ 인 $u \in F[x]$ 가 존재하는 것으로 $F[x]/(p(x))$ 가 나눗셈환임을 알 수 있습니다. 또, $F[x]/(p(x))$ 는 가환환이므로 (b) 가 증명됩니다.

 

(b) 를 가정하고 (c) 를 보이겠습니다. 모든 체는 정역이므로 (c) 가 증명됩니다.

 

(c) 를 가정하고 (a) 를 보이겠습니다. $a(x) \mid p(x)$ 인 모닉다항식 $a(x)$ 에 대해, $p(x)$ 가 irreducible 함을 보이려면 $a(x) = 1_F$ 이거나 $a(x)$ 가 $p(x)$ 와 associate 함을 보여야 합니다. 어떤 $b(x)$ 에 대해 $p(x) = a(x) b(x)$ 이므로 $$a(x) b(x) \equiv 0_F \mod p(x) \;\Rightarrow\; [a(x)][b(x)]=[a(x)b(x)]=[0_F]$$ 가 성립합니다. 그런데 $F[x]/(p(x))$ 가 정역임을 가정했으므로 $[a(x)] = [0_F]$ 이거나 $[b(x)] =0_F$ 입니다.

 

만약 $[a(x)] = [0_F]$ 이면 $$a(x) \equiv 0_F \mod p(x)$$ 가 성립하고, 따라서 $p(x) \mid a(x)$ 입니다. 그러므로 어떤 $w(x)$ 에 대해 $p(x) = a(x)b(x) = p(x)w(x)b(x)$ 가 성립하고, 그러므로 $w(x)b(x) = 1_F$ 입니다. $$\deg w(x) + \deg b(x) = \deg 1_F = 0$$ 이므므로 $\deg w(x) = \deg b(x) = 0$ 이고, 따라서 $b(x)$ 는 $0_F$ 가 아닌 상수함수입니다. 이 때 $p(x) = a(x)b(x)$ 로부터 $a(x)$ 는 $p(x)$ 와 associate 합니다.

 

같은 방법으로 $[b(x)] = [0_F]$ 이면 $a(x) = 1_F$ 임을 보일 수 있고, 증명이 완성됩니다.

 

체 $F$ 와 irreducible 한 $p(x) \in F[x]$ 에 대해 $$K = F[x]/(p(x))$$ 는 $F$ 를 부분체로 가지고, $p(x)$ 의 근 또한 가진다.

 

$F$ 를 부분체로 가지는 체 $K$ 를 $F$ 의 확대체(Extension field)라고 부르기도 합니다.

 

Proof

$K$ 가 $F$ 의 확대체라는 사실은 이 글의 첫 번째 정리와 바로 위의 정리에 의해 보장받습니다. 이제 $p(x)$ 의 근을 가짐을 보이기 위해, $$p(x) = \sum_{i=0}^{n}a_i x^i$$ 라 두겠습니다. 이 때, $a_i \in F \;\Rightarrow\; [a_i] \in K$ 입니다. 이제 $\alpha = [x] \in K$ 에 대해, $\alpha$ 가 $p(x)$ 의 근이 됨을 보이겠습니다. $$\sum_{i=0}^{n}a_i \alpha^i = \sum_{i=0}^{n} a_i [x]^i  = \left[\sum_{i=0}^{n} a_i x^i\right] = [p(x)] = 0_F$$ 이므로, 증명이 완성됩니다.

 

위 정리의 따름정리로 다음을 얻습니다.

 

체 $F$ 와 상수가 아닌 $f(x) \in F[x]$ 에 대해 $f(x)$ 의 근을 가지는 $F$ 의 확대체 $K$ 가 존재한다.

 

Proof

$f(x)$ 는 반드시 irreducible 한 $p(x) \in F[x]$ 들의 곱으로 나타낼 수 있습니다. 그 중 하나의 $p(x)$ 에 대해 $$K = F[x] / (p(x))$$ 라 두면, $K$ 는 $p(x)$ 의 근을 가지는 $F$ 의 확대체이고, 따라서 $f(x)$ 의 근 또한 가집니다.