Prime, Maximal Ideal

 

아이디얼에 대해서도 Prime 과 Maximal 을 정의할 수 있습니다.

 

가환환 $R$ 의 아이디얼 $P$ 에 대해, $P \neq 0$ 이고 $$bc \in P \;\Rightarrow\; b\in P \;\text{ of }\; c \in P$$ 이면 $P$ 를 prime 이라 부른다.

 

가환환 $R$ 의 아이디얼 $P$ 에 대해 다음 두 명제는 동치이다. (a) $P$ 가 prime ideal 이다. (b) $R/P$ 가 정역이다.

 

Proof

우선 $R/P$ 가 가환환임은 이 글에서 보였습니다. 그리고 만약 $1_R \in P$ 이면 $P = R$ 이 되어야 하므로 $1_R \not\in P$ 입니다. 그리고 이는 $$1_R + P \neq 0_R + P$$ 와 동치입니다.

 

(a) 를 가정하고 (b) 를 보이겠습니다. 만약 $$(b + P)(c + P) = bc + P = 0_R + P$$ 이면 $bc \in P$ 인데, $P$ 는 prime 이므로 $b \in P$ 이거나 $c \in P$ 입니다. 따라서 $b + P = 0_R + P$ 혹은 $c + P = 0_R + P$ 가 성립하고, 이는 곧 $R/P$ 가 정역임을 의미합니다.

 

(b) 를 가정하고 (a) 를 보이겠습니다. 만약 $bc \in P$ 라면, $$(b+P)(c+P) = bc + P = 0_R + P$$ 입니다. 이 때 $R/P$ 가 정역이므로 $b + P = 0_R + P$ 이거나 $c + P = 0_R + P$ 입니다. 따라서 $b \in P$ 또는 $c \in P$ 이고, 이는 $P$ 가 prime 임을 의미합니다.

 

 

이제 아이디얼에 대해 Maximal 을 정의할 차례입니다.

 

환 $R$ 의 아이디얼 $M$ 이 $M \neq R$ 이고, 임의의 아이디얼 $J$ 에 대해 $$M\subseteq J \subseteq R \quad\Rightarrow\quad M = J \;\text{ or } J = R$$ 이면 $M$ 을 Maximal 이라 한다.

 

가환환 $R$ 의 아이디얼 $M$ 에 대해 다음 두 명제는 동치이다. (a) $M$ 이 maximal ideal 이다. (b) $R/M$ 이 체이다.

 

Proof

우선 $R/M$ 이 가환환임은 이 글에서 보였습니다. 그리고 만약 $1_R \in M$ 이면 $M = R$ 이 되어야 하므로 $1_R \not\in M$ 입니다. 그리고 이는 $$1_R + M \neq 0_R + M$$ 와 동치입니다.

 

(a) 를 가정하고 (b) 를 보이겠습니다. $a + M$ 이 $R/M$ 의 $0_R + M$ 이 아닌 원소라면, $a \neq M$ 이 성립합니다. 이 때 다음과 같은 집합을 생각하겠습니다. $$J = \{ m + ra \vert r \in R \;\text{ and }\; m \in M\}$$ 이라 하면, $J$ 는 $R$ 의 아이디얼이고, $M$ 을 부분집합으로 가집니다. 또, $ a= 0_R + 1_R a$ 에서 $M \neq J$ 입니다. 그러면 $M$ 이 maximal ideal 이므로 $J= R$ 입니다. 따라서 $1_R \in R$ 이고, 이는 곧 어떤 $m \in M$ 과 $c \in R$ 에 대해 $1_R = m + ca$ 가 성립함을 의미합니다. 따라서 $$ca \equiv 1_R \mod M$$ 이고, 이는 곧 $$ca + M = 1_R + M$$ 을 의미합니다. 그러면 $$(c +M)(a+M) = ca + M = 1_R + M$$ 이므로 $R/M$ 은 나눗셈환이 되고, 따라서 $R/M$ 은 체가 됩니다.

 

(b) 를 가정하고 (a) 를 보이겠습니다. 어떤 아이디얼 $J$ 에 대해 $M \subseteq J \subseteq R$ 일 때를 생각하면, 만약 $M \neq J$ 일 경우 어떤 $a \in J$ 에 대해 $a \not \in M$ 이어야 합니다. 이는 곧 $$a + M \neq 0_R + M$$ 임을 의미합니다. 그러면 $R/M$ 이 체이므로 어떤 $b + M$ 이 존재하여 $$(a+M)(b+M) = ab +M = 1_R +M$$ 이어야 하고, 이는 곧 어떤 $m \in M$ 에 대해 $1_R = ab -m$ 임을 의미합니다. 그런데 $a, m \in J$ 이므로 $1_R \in J$ 이고, 이는 곧 $J = R$ 이 됨을 의미합니다. 따라서 증명이 완성됩니다.

 

 

위 정리를 통해 아래의 정리를 쉽게 보일 수 있습니다.

 

가환환 $R$ 에 대해, 모든 Maximal ideal 은 Prime 이다.

 

Proof

maximal ideal $M$ 에 대해 $P/M$ 은 체입니다. 그런데 모든 체는 정역이고, $P/M$ 이 정역이므로 $M$ 은 Prime ideal 입니다.