Dirichlet character 의 합

$$L(1, \chi ) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi (n)}{n}$$ 처럼 쓰는 표기는 흔하게 쓰이므로, 기억해둘 필요가 있습니다. 이제 이에 대한 몇 가지 성질을 알아보려 합니다.

 

$\chi$ 가 법 $k$ 에 대한, 실수 값만을 가지는 character 라고 할 때 $$A(n) = \sum_{d\mid n}\chi (d)$$ 라 하자. $A(n) \geq 0$ 이고, $n$ 이 제곱수일 때 $A(n) \geq 1$ 이다.

 

Proof

소수의 거듭제곱에 대해, $$A\left(p^a \right) = \sum_{t=0}^{a}\chi (p^t) = 1 + \sum_{t=1}^{a}\chi (p)^t$$ 입니다. 그런데 $chi $ 가 실함수이므로 $\chi (p)$ 로 가능한 값은 $0, \pm 1$ 뿐입니다. 만약 $\chi (p) = 0$ 이면 $A\left( p^ a\right) = 1$ 이고, $\chi (p) = 1$ 이면 $A\left(p^a \right) = a+ 1$ 이며 $\chi (p) = -1$ 이면 $$A\left(p^a \right) = \begin{cases}0 & \text{ if } a \text{ is odd} \\ 1 & \text{ if } a \text{ is even }\end{cases}$$ 입니다. 어떤 상황이라도, $a$ 가 짝수라면 $A\left(p^a \right) \geq 1$ 입니다. 그런데 $A$ 는 곱셈적 함수이므로 $A(n) \geq 0$ 이고, $n$ 이 제곱수라면 $A(n) \geq 1$ 입니다.

 

$\chi$ 가 법 $k$ 에 대한 nonprincipal character 이고 실수 값만을 가질 때, $$A(n) = \sum_{d\mid n}\chi (d) \qquad B(x) = \sum_{n\leq x}\frac{A(n)}{\sqrt{n}}$$ 이라 하자. 그러면 (a) $\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}B(x) = \infty$ (b) $B(x) = 2\sqrt{x}L(1, \chi ) + O(1)$ 이다.

 

Proof

우선, $$B(x) \geq \frac{n \leq x^2 \\ n = m^2}{\frac{1}{\sqrt{n}}} = \sum_{n\leq \sqrt{x}}\frac{1}{m}$$ 입니다. 그런데 조화급수는 발산하므로 (a) 가 증명됩니다.

 

(b) 를 보이기 위해 $$B(x) = \sum_{n\leq x}\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{d\mid n}\chi (d) = \sum_{qd \leq x}\frac{\chi (d)}{\sqrt{qd}}$$ 라 쓰면 $$\sum_{qd \leq x}f(d) g(q) = \sum_{n\leq a} f(n) G\left(\frac{x}{n}\right) + \sum_{n\leq b}g(n) F\left(\frac{x}{n}\right) - F(a)G(b)$$ 이므로 $a = b = \sqrt{x}$, $f(n) = \frac{\chi (n)}{\sqrt{n}}$, $g(n) = \frac{1}{\sqrt{n}}$ 이라 두면 $$B(x) = \sum_{n \leq \sqrt{x}}\frac{\chi (n)}{\sqrt{n}}G\left(\frac{x}{n}\right) + \sum_{n\leq \sqrt{x}}\frac{1}{n}F\left(\frac{x}{n}\right) - F\left(\sqrt{x}\right)G\left(\sqrt{x}\right)$$ 입니다. 그런데 $$G(x) = \sum_{n\leq x}\frac{1}{\sqrt{n}} = 2\sqrt{x}+A + O\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$$ 이고, $$F(x) = \sum_{n\leq x}\frac{\chi (n)}{n} = B + O\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$$ 이며 (단, $A$ 는 상수이고 $B = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi (n)}{\sqrt{n}}$) $$F\left(\sqrt{x}\right)G\left(\sqrt{x}\right) = 2Bx^{\frac{1}{4}}+O(1)$$ 이므로 $$\begin{align*}B(x) =& \sum_{n\leq \sqrt{x}}\frac{\chi (n)}{n}\left\{2\sqrt{\frac{x}{n}} + A + O \left(\sqrt{n}{x}\right)\right\} \\ &+ \sum_{n\leq \sqrt{x}} \frac{1}{\sqrt{n}} \left\{B + O\left(\frac{n}{x}\right)\right\} - 2Bx^{\frac{1}{4}} + O(1) \\ =& 2\sqrt{x} \sum_{n\leq \sqrt{x}}\frac{\chi (n)}{n} + A\sum_{n\leq\sqrt{x}} \frac{\chi (n)}{\sqrt{n}} + O\left(\frac{1}{\sqrt{x}} \sum_{n\leq \sqrt{x}} \vert \chi (n)\vert\right) \\ &+ B\sum_{n\leq \sqrt{x}} \frac{1}{\sqrt{n}} + O\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\sum_{n\leq \sqrt{x}}1\right) - 2Bx^{\frac{1}{4}} + O(1) \\ =& 2\sqrt{x}L(1, \chi ) + O(1)\end{align*}$$

 

 

이제, 위 정리의 (a), (b) 에 의해 $L(1, \chi )\neq 0$ 임이 자명합니다.