Dirichlet Characters

어떤 정수 $a$ 에 대해, 법 $k$ 에 대한 $a$ 의 잉여류(residue class)는 $$\hat{a} = \{x : x \equiv a \mod k\}$$ 로 정의됩니다. 또, 잉여류 사이의 곱은 $$\hat{a}\cdot \hat{b} = \widehat{ab}$$ 처럼 정의합니다. 

 

법 $k$ 에 대한 잉여류 $\phi (k)$ 개의 집합은 유한 아벨군을 이룬다.

 

이때 항등원은 Identity Class 라 부르고, $\hat{1}$ 입니다. 또, $\hat{a}$ 의 역원은 $ab \equiv 1 \mod k$ 인 $\hat{b}$ 입니다.

 

Proof

닫혀있음과 결합법칙은 잉여류와 그 곱셈의 정의에 의해 자명합니다. 또, $\hat{1}$ 이 항등원임 또한 자명합니다. 또, $ab \equiv 1 \mod k$ 인 $b$ 또한 유일하므로, $\hat{a}\cdot \hat{b}$ 는 항등원이 됩니다. 그러므로 이는 유한 아벨군입니다.

 

이제 Dirichlet Character 를 정의할 수 있습니다.

 

$G$ 가 법 $k$ 에 대한 잉여류 집합이라고 할 때, $G$ 의 character $f$ 에 대해 $$\chi (n) = \begin{cases}f(\hat{n}) & \text{ if } (n, k) = 1 \\ 0 & \text{ if } (n, k) > 1\end{cases}$$ 을 법 $k$ 에 대한 Dirichlet character 라고 한다.

 

이 때, $\chi_1 = \begin{cases} 1 & \text{ if } (n, k) = 1 \\ 0 & \text{ if } (n, k) > 1\end{cases}$ 를 principal character 라 합니다.

 

법 $k$ 에 대한 Dirichlet character $\phi (k)$ 개에 대해,  $$\chi (mn) = \chi (m) \chi (n) \quad \text{ for all } m, n$$ 이고, $$\chi (n + k ) = \chi (n) \quad \text{ for all } n$$ 이다. 반대로, $\chi$ 가 완전곱셈적 함수이고 주기가 $k$ 이며 $\chi (n) = 0 \text{ if } (n, k) > 1$ 이면 $\chi$ 는 법 $k$ 에 대한 Dirichlet character 중 하나이다.

 

Proof

만약 $m, n$ 이 $k$ 와 모두 서로소라면, $\chi_f$ 의 곱셈적 성질은 정의로부터 자명합니다. 만약 $m, n$ 중 $k$ 와 서로소가 아닌 것이 있다면 $mn$ 또한 $k$ 와 서로소가 아니고, 따라서 $\chi (mn) = \chi (m) \chi (n) = 0$ 이 되어 완전곱셈적 함수가 됩니다. 또, 주기성은 $\chi_f (n) = f(\hat{n}) $ 이고 $a \equiv b \mod k$ 이면 $(a, k) = (b, k)$ 이므로 성립합니다.

 

이제, 역을 증명하기 위해 함수 $f$ 를 $$f(\hat{n}) = \chi (n)\quad \text{ if }(n, k) = 1$$ 처럼 정의하면 $f$ 는 $G$ 의 character 이므로, $\chi$ 는 법 $k$ 에 대한 Dirichlet character 입니다.

 

$\chi_1, \cdots, \chi_{\phi (k)}$ 를 법 $k$ 에 대한 Dirichlet Character 라고 하면 두 정수 $m, n$ 에 대해 $(n, k) =1$ 일 때 $$\sum_{r = 1}^{\phi (k)}  \chi_r (m) \bar{\chi}_{r}(n) = \begin{cases} \phi (k) & \text{ if }m \equiv n \mod k \\ 0 & \text{ if } m \not\equiv n \mod k\end{cases}$$

 

Proof

만약 $(m, k) = 1$ 이라면, $a_i = \hat{n}$, $a_j = \hat{m}$ 이라 할 때 이 글의 마지막 정리에 의해 등식이 성립합니다. 또, $\hat{n} = \hat{m}$ 이면 $m \equiv n \mod k$ 입니다.

 

만약 $(m, k) > 1$ 이라면 각 항을 합하면 모두 사라지고 $m \not\equiv n \mod k$ 가 됩니다. 따라서 증명이 완성됩니다.