부분군 더 알아보기

어떤 군 $G$ 가 주어졌을 때, $G$ 의 임의의 원소 $a$ 에 대해 $a^n$ 을 원소로 가지는 집합 $G'$ 을 생각해보겠습니다. ($n = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots$) 이 때, $G'$ 은 $G$ 의 부분집합이고, 이항연산에 대해 닫혀있으며, $G'$ 의 임의의 원소는 역원이 존재합니다. 따라서 한 원소의 거듭제곱을 모두 가진 집합 $G'$ 은 부분군입니다. 이렇게 만들어진 군을 $a$ 로 만들어진 순환부분군(Cyclic Subgroup generated by $a$) 이라고 부르고, $\langle a \rangle$ 이라 씁니다. 

 

거듭제곱의 정의에 의해 $\langle a \rangle$ 은 아벨군입니다. 이는 $G$ 가 아벨군이 아닌 것과 무관합니다. 또, 만약 $a^n = e$ 가 되는 양의 정수 $n$ 이 존재한다면, 그런 양의 정수 중 최소의 $n$ 에 대해 $\langle a \rangle$ 이 order 가 $n$ 인 유한군이 됩니다. $$\langle a \rangle = \{a, a^2, \cdots, a^{n-1}, a^n = e\}$$ 이 때, $n$ 을 원소 $a$ 의 order 라고 부르기도 합니다. 이 때, 원소의 order 에 대해 다음 정리가 성립합니다.

 

유한군 $G$ 와 그 원소 $a \in G$ 에 대해, 어떤 양의 정수 $n \leq \vert G\vert$ 가 존재하여 $a^n = e$ 이다.

 

Proof

$g = \vert G \vert$ 라 하면 아래의 $g + 1$ 개의 원소 중 적어도 한 쌍은 같습니다. $$e, a, a^2, \cdots a^g$$ $a^r = a^s, \quad 0 \leq s < r \leq g$ 라 하면, $e = a^r (a^s)^{-1} = a^{r-s}$ 이므로 $n = r - s$ 라 두면 증명이 완성됩니다.

 

 

만약 $G'$ 이 유한군 $G$ 의 부분군이라면, 임의의 원소 $a \in G$ 에 대해 어떤 정수 $n$ 이 존재하여 $a^n \in G'$ 이 됩니다. 이 때, $a^n \in G'$ 인 양의 정수 $n$ 중 최소인 값을 $a$ 의 $G'$ 에 대한 indicator 라고 부릅니다

 

$G'$ 이 유한 아벨군 $G$ 의 부분군이고, $G' \neq G$ 라고 하자. $a \in G$ 이고 $a \not\in G'$ 인 원소 $a$ 와 그 $G'$ 에 대한 indicator $h$ 에 대해, $$G'' = \{xa^k : x\in G' \text{ and } k = 0, 1, 2, \cdots, h-1\}$$ 은 $G'$ 을 포함하는 $G$ 의 부분군이고, $\vert G''\vert = h \vert G'\vert$ 이다.

 

Proof

$G''$ 이 부분군임을 보이기 위해, 우선 닫혀있음을 보이겠습니다. $G''$ 의 임의의 두 원소 $xa^k, ya^j$ 를 고르면, (단, $x, y \in G', 0 \leq k, j < h$) $G$ 가 아벨군이므로 두 원소의 곱은 $$(xy)a^{k+j}$$ 가 됩니다. 이제 $k + j = qh + r$ (단, $0\leq r < h$) 라 두면 $$a^{k+j} = a^{qh + r} = a^{qh}a^r = za^r$$ 이 됩니다. 이 때, $z = a^{qh} = \left (a^{h}\right)^{q} \in G'$ 입니다. 따라서 $$(xy) a^{k+j} = (xyz)a^r = \omega a^r$$ 이 되므로, $G''$ 은 닫혀있습니다. ($\omega \in G', 0 \leq r < h$)

 

이제 $G''$ 의 임의의 원소에 대한 역원이 $G''$ 의 원소임을 보이겠습니다. 임의의 원소 $xa^k$ 를 고르면, 만약 $k = 0$ 이면 원소의 역원이 $x^{-1}$ 이 되고, 이는 $G''$ 의 원소입니다. 만약 $0 < k < h$ 라면, 그 역원은 $$\left(x^{-1}\left(a^h\right)^{-1}\right)a^{h-k}$$ 가 되어, $G''$ 은 임의의 원소에 대한 역원을 포함합니다. 따라서 $G''$ 은 $G$ 의 부분군이고, 자명하게 $G'$ 을 포함합니다.

 

이제 $m = \vert G' \vert$ 라 두면, 단순하게 $xa^k$ 에서 $x$ 는 $m$ 가지 경우가 존재하고, $k$ 는 $h$ 개의 경우가 존재하므로 총 $mh$ 개가 존재한다고 생각할 수 있습니다. 따라서 원소가 서로 같은 경우가 없음만 보이면 충분합니다. 만약 $$xa^k = ya^j \quad 0 \leq j \leq k < h$$ 라고 하면, $a^{k-j} = x^{-1}y$ 이고 $0\leq k - j < h$ 입니다. 그런데 $x^{-1}y \in G'$ 이므로 $a^{k-j}$ 가 $G'$ 의 원소가 되어야 하고, $a$ 의 indicator 가 $h$ 이므로 $k = j$ 가 되어야 합니다. 이는 곧 $x = y$ 를 의미하고, 따라서 $xa^k = ya^j$ 가 서로 다른 $x, y, k, j$ 에 대해 성립하는 경우는 없습니다. 따라서 $\vert G'' \vert = h \vert G\vert$ 입니다.