유한 아벨군

군 $G$ 는 공집합이 아닌 집합과 이항연산 $\cdot$ 하나로 정의되며, 다음 조건을 만족한다. (a) $\forall a, b\in G, a\cdot b \in G$ (닫혀있다) (b) $\forall a, b, c\in G, (a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)$ (결합법칙) (c) $\exists ! e \in G \text{ s.t. } \forall a\in G, a\cdot e = e\cdot a = a$ (항등원의 존재) (d) $\forall a \in G, \exists b \in G \text{ s.t. } a\cdot b = b\cdot a = e$ (역원의 존재)

 

이 때, $e$ 를 항등원(Identity)이라 부르고, $b$ 를 $a^{-1}$ 이라 적고 $a$ 의 역원(inverse)이라 부릅니다.

 

군 $G$에 아래 조건 하나를 추가하면, 아벨군(Abelian Group)이 됩니다.

 

$$\forall a, b \in G, ab = ba$$

 

만약 군 $G$ 의 원소가 유한하다면 $G$ 를 유한 아벨군이라 부르고, 원소의 개수를 $\vert G \vert$ 라 쓰며 $G$ 의 order 라 부릅니다.

 

군 $G$ 의 공집합이 아닌 부분집합 $G'$ 도 같은 이항연산 $\cdot$ 에 대해 군이 되면, $G'$ 을 $G$ 의 부분군(Subgroup)이라 부릅니다.

 

군은 다음과 같은 기본적인 성질을 가지고 있습니다.

 

군 $G$ 에 대해 $a, b, c\in G$ 가 $$a\cdot c = b\cdot c \quad \text{ or }\quad c\cdot a = c\cdot b$$ 를 만족한다면, $a = b$ 이다.

 

Proof

$a\cdot c = b\cdot c$ 일 때, $(a\cdot c)\cdot c^{-1} = a \cdot ( c\cdot c^{-1} )  = a$ 이고 $(b \cdot c)\cdot c^{-1} = b \cdot (c\cdot c_{-1}) = b$ 이므로 $a = b$ 입니다. 다른 경우도 마찬가지로 해결할 수 있습니다.

 

여기서, 계속하여 $\cdot$ 연산을 적어주는 것이 굉장히 피곤한 일이라는 것을 알 수 있습니다. 따라서 의미가 모호한 경우가 아니라면, $a\cdot b$ 대신 $ab$ 와 같이 생략하여 표현하겠습니다.

 

다음과 같은 성질 또한 성립합니다.

 

군 $G$ 에 대하여, 다음이 성립한다. (a) $e^{-1} = e$ (b) $\forall a\in G$, $(a^{-1})^{-1} = a$ (c) $\forall a, b\in G$, $(ab)^{-1} = a^{-1}b^{-1}$ (d) $\forall a, b\in G$, $ax = b \Leftrightarrow x = a^{-1}b$, $ya = b \Leftrightarrow y = ba^{-1}$

 

Proof

(a) $ee = e^{-1}$ 이므로, $e = e^{-1}$ 입니다.

(b) $aa^{-1} = e$ 이므로, $(a^{-1})^{-1} = a$ 입니다.

(c) $(ab)(b^{-1}a^{-1}) = a(bb^{-1})a^{-1} = aea^{-1} = aa^{-1} = e$ 이므로, $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$ 입니다.

(d) $a(a^{-1}b) = (aa^{-1})b = b$ 이고 $(ba^{-1})a = b(a^{-1}a) = b$ 이므로 성립합니다.

 

 

군의 원소에 대해서도 거듭제곱을 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

 

군 $G$ 에 대해, $G$ 의 원소 $a$ 의 거듭제곱 $a^n$ 은 다음처럼 정의한다. $$a^0 = e,\qquad a^n = aa^{n-1},\qquad a^{-n} = (a^{-1})^n\quad \text{ for } n > 0$$ 이다.

 

군의 거듭제곱에서도 흔히 알려진 지수법칙이 성립합니다.

 

군 $G$ 와 그 원소 $a \in G$, 정수 $m, n$ 에 대해 $$a^m a^n = a^{m+n} = a^n a^m\qquad (a^m)^n = a^{mn} = (a^n)^m$$ 이고, 만약 $a, b \in G$ 에 대해 $ab = ba$ 라면 $$a^n b^n = (ab)^n$$ 이다.

 

이에 대한 증명은 귀납법으로 쉽게 증명할 수 있으므로 생략하겠습니다.

 

 

또, 부분군에 대해서는 다음 조건이 성립합니다.

 

어떤 군 $G$ 의 공집합이 아닌 부분집합 $G'$ 이 부분군일 필요충분조건은 다음 두 명제가 성립하는 것이다. (a) $\forall a, b \in G', ab \in G;$ (b) $\forall a \in G, \exists a^{-1}\in G'$

 

Proof

군의 조건 중 결합법칙은 $G'$ 의 원소는 $G$ 의 원소이므로 성립합니다. 또, 항등원은 위의 (a), (b) 가 만족된다면 $a \in G'$ 에 대해 $a^{-1}\in G'$ 가 존재하고, $aa^{-1} = e \in G'$ 가 (a) 에 의해 성립하므로 $G'$ 에 존재합니다. 따라서 (a), (b) 를 만족하면 $G'$ 도 군이 됩니다.

 

반대로 $G'$ 이 부분군이라면 자명하게 (a), (b) 를 만족합니다.