유한 아벨군 더 알아보기

 

$G$ 가 군일 때, 정의역이 $G$ 의 원소인 함수 $f$ 가 임의의 원소 $a, b \in G$ 에 대해 $$f(ab) = f(a)f(b)$$ 를 만족하고 $\exists c\in G \text{ s.t. } f(c) \neq 0$ 이면 $f$ 를 $G$ 의 character 라고 합니다.

 

$f$ 가 항등원 $e$ 를 갖는 유한군 $G$ 의 character 일 때, $$f(e) = 1, \quad a^n = e \Rightarrow f(a)^n = 1$$ 이다.

 

Proof

$f(c) = \neq 0$ 인 $c \in G$ 를 고르겠습니다. 이 때 $ce = c$ 이므로 $$f(c) f(e) = f(c)$$ 이고, 따라서 $f(e) = 1$ 입니다. 또, $a^n = e$ 이면 $f(a)^n = f(a^n) = f(e) = 1$ 입니다.

 

유한 아벨군의 character 에 대해서는 다음과 같은 정리가 성립합니다.

 

유한 아벨군 $G$ 가 order $n$ 일 때, $n$ 개의 서로 다른 character 를 가진다.

 

Proof

$G' \neq G$ 인 부분군 $G'$ 에 대해, 이 글에서 제시하였듯이 어떤 부분군 $G''$ 이 존재하여 $G'$ 을 포함하도록 할 수 있습니다. 이 때, $G''$ 의 원소 중 $G'$ 에 존재하지 않는 원소 $a$ 이 반드시 존재하므로 $G''$ 을 $\langle G';a\rangle$ 처럼 쓰겠습니다. 즉, $$\langle G';a \rangle = \{xa^k : x \in G' \text{ and } 0 \leq k < h\}$$ 입니다. (단, $h$ 는 $a$ 의 $G'$ 에 대한 indicator 입니다.) 

 

이제 $G$ 의 자명한 부분군 $G_1 = \{e\}$ 에 대해, 위 방법을 반복하여 적용하겠습니다. $G_1 \neq G$ 이고, 따라서 $G_2 = \langle G_1 ; a_1 \rangle$ 을 정의할 수 있습니다. 이와 같은 방법으로 $$G_{r+1} = \langle G_{r}; a_r\rangle$$ ($r = 1, 2, \cdots, t$) 을 귀납적으로 정의하여 $$G_1 \subset G_2 \subset \cdots \subset G_{t+1} = G$$ 까지 만들 수 있습니다. $G$ 는 유한 아벨군이기 때문에 유한한 과정 안에 위와 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

 

$G_1$ 의 character 가 하나임은 자명합니다. 이제 $G_r$ 의 order 가 $m$ 이고, character 가 정확히 $m$ 개 존재한다고 가정하겠습니다. 이제 $G_{r+1} = \langle G_r ; a_r \rangle$ 을 생각하겠습니다. $h$ 가 $a_r$ 의 $G_r$ 에 대한 indicator 라고 하면, $G_{r+1}$ 의 order 는 $mh$ 입니다. $G_{r+1}$ 의 원소는 또한 $$xa^r,\quad x \in G_r, 0 \leq k < h$$ 의 꼴인데, $G_r$ 의 character $f$ 가 $G_{r+1}$ 의 character $\tilde{f}$ 로 확장될 수 있다고 생각해보겠습니다. 그렇다면 $$\tilde{f}\left(xa_{r}^{k}\right) = \tilde{f}(x) \tilde{f}(a_{r})^k$$ 입니다. 그런데 $x \in G_{r}$ 이므로, $\tilde{f}(x) = f(x)$ 이고, 따라서 $$\tilde{f}\left(xa_{r}^{k}\right) = f(x) \tilde{f}(a_{r})^k$$ 입니다. 이는 곧, $\tilde{f}\left(xa_{r}^{k}\right)$ 는 $\tilde{a_{r}}$ 이 정해지면 특정할 수 있다는 뜻입니다. 

 

그렇다면 $\tilde{f}(a_{r})$ 의 값으로는 무엇이 가능할까요? $c = a_{r}^{h}$ 라고 하면, $c \in G_{r}$ 이므로 $\tilde{f}(c) = f(c)$ 입니다. 또, $\tilde{f}(c) = \tilde{f}(a_{r})^h$ 입니다. 따라서 $$\tilde{f}(a_{r})^{h} = f(c)$$ 이고, $\tilde{f}(a_r)$ 은 $f(c)$ 의 $h$ 제곱근 중 하나이므로 $\tilde{f}(a_r)$ 은 총 $h$ 가지 경우가 존재합니다.

 

위의 관찰을 통해, $f$ 가 $G_r$ 의 character 라면 $f(c)$ 의 $h$ 제곱근 중 하나를 $\tilde{f}(a_r)$ 이라 정의하고, 그러면 $\tilde{f}$ 는 모든 $G_{r+1}$ 의 원소에 대해 $$\tilde{f}\left(xa_{r}^k\right) = f(x)\tilde{f}(a_r)^k$$ 로 정의할 수 있습니다. 이제 $\tilde{f}$ 가 곱셈적 성질을 가진다는 것을 보이겠습니다. $$\begin{align*}\tilde{f}\left(xa_{r}^{k}\cdot ya_{r}^{j}\right)&=\tilde{f}\left(xy\cdot a_{r}^{k+j}\right) = f(xy)\tilde{f}(a_{r})^{k+j} \\ &= f(x)f(y)\tilde{f}(a_{r})^k \tilde{f}(a_r)^{j} \\ &= \tilde{f}\left(xa_{r}^{k}\right)\tilde{f}\left(ya_{r}^{j}\right)\end{align*}$$ 이므로, $\tilde{f}$ 는 $G_{r+1}$ 의 character 입니다. 

 

그러므로, $G_r$ 의 character $f$ 에 대해 $G_{r+1}$ 의 character $\tilde{f}$ 는 $h$ 제곱근의 선택에 따라 총 $h$ 개가 만들어질 수 있고, $G_r$ 의 character 를 $m$ 개라 정의했으므로 $G_{r+1}$ 의 character 는 $mh$ 개가 됩니다. 그런데 $G_{r+1}$ 의 order 는 $mh$ 이므로, 수학적 귀납법에 의해 증명이 완성됩니다.