디리클레 곱의 부분합과 디리클레 함수, 망골트 함수

디리클레 곱으로 이루어진 함수의 부분합은 다음과 같이 비교적 쉽게 계산할 수 있습니다.

 

함수 $f, g$ 와 $h = f*g$ 에 대해 $$H(x) = \sum_{n\leq x}h(n), \quad F(x)=\sum_{n\leq x}f(n), \quad G(x) = \sum_{n\leq x}g(n)$$ 이라고 두면, $$H(x) = \sum_{n\leq x}f(n)G\left(\frac{x}{n}\right) = \sum_{n\leq x}g(n)F\left(\frac{x}{n}\right)$$ 이 성립한다.

 

Proof

$U(x) = \begin{cases}0 & \text{ if } 0 < x < 1 \\ 1 & \text{ if } x \geq 1 \end{cases}$ 라 정의하겠습니다. 그러면 $F = f \circ U, G = g \circ U$ 이고 $$f \circ G = f \circ (g \circ U) = (f * g)\circ U = H \\ g\circ F = g \circ (f \circ U)=(g*f)\circ U = H$$ 가 되어 증명이 완성됩니다.

 

여기에 $g(n) = 1$, $G(x) = [x]$ 를 대입하면 아래의 따름정리를 얻습니다.

 

$F(x) = \sum_{n\leq x}f(x)$ 라 하면, $$\sum_{n\leq x}\sum_{d\mid n}f(d) = \sum_{n\leq x}f(n)\left[\frac{x}{n}\right] = \sum_{n\leq x}F\left(\frac{x}{n}\right)$$

 

 

이제 위의 따름정리에 $f(n) = \mu (n)$ 과 $f(n) = \Lambda(n)$ 을 대입하면 각각 다음을 얻습니다.

 

$x \geq 1$ 에서 $$\sum_{n \leq x}\mu (n)\left[\frac{x}{n}\right] =1,\quad \sum_{n\leq x}\Lambda (n) \left[\frac{x}{n}\right] = \log [x]!$$ 이다.

 

Proof

$$\sum_{n\leq x}\mu (n)\left[\frac{x}{n}\right] = \sum_{n\leq x}\sum_{d\mid n}\mu (d) = \sum_{n\leq x}\left[\frac{1}{n}\right] = 1$$ $$\sum_{n\leq x}\Lambda(n) \left[\frac{x}{n}\right] = \sum_{n\leq x}\sum_{d\mid n}\Lambda (d) = \sum_{n\leq x}\log n = \log [x]!$$

 

 

디리클레 곱의 부분합에 대해서는 아래와 같은 또 다른 정리가 성립합니다.

 

함수 $f, g$ 와 $h = f*g$ 에 대해 $$H(x) = \sum_{n\leq x}h(n), \quad F(x)=\sum_{n\leq x}f(n), \quad G(x) = \sum_{n\leq x}g(n)$$ 이라고 두면, $$H(x) = \sum_{n\leq x}\sum_{d\mid n}f(d)g\left(\frac{n}{d}\right) = \sum_{qd\leq x}f(d)g(q)$$ 이므로, $ab = x$ 인 양의 실수 $a, b$ 에 대해 $$\sum_{qd \leq x}f(d)g(q) = \sum_{n\leq a}f(n)G\left(\frac{x}{n}\right) + \sum_{n\leq b}g(n) F\left(\frac{x}{n}\right) - F(a)G(b)$$ 가 된다.

 

Proof

$$H(x) = \sum_{d\leq a}\sum_{q\leq \frac{x}{d}}f(d)g(q) + \sum_{q\leq b}\sum_{d \leq \frac{x}{q}} f(d)g(q) - \sum_{d\leq a}\sum_{q\leq b}f(d)g(q)$$ 가 되므로, 원래 식이 증명됩니다.