디리클레 함수, 망골트 함수 더 알아보기

우선, 다음 정리를 증명하겠습니다.

 

$x \geq 1$ 에서, $$\left\vert \sum_{n\leq x}\frac{\mu (n)}{n}\right\vert \leq 1$$ 이고, 등호는 $x < 2$ 일 때만 성립한다.

 

Proof

$x < 2$ 이면, $\mu(1) = 1$ 의 항만이 존재한다. $x \geq 2$ 일 때를 보자. $\{y\}=y-[y]$ 처럼 정의하면 $$1 = \sum_{n\leq x}\mu (n) \left[\frac{x}{n}\right] = \sum_{n \leq x}\mu (n) \left(\frac{x}{n}-\left\{\frac{x}{n}\right\}\right) = x\sum_{n\leq x}\frac{\mu (n)}{n}-\sum_{n\leq x}\left\{\frac{x}{n}\right\}$$ 이므로, $$\begin{align*}x \left\vert \sum_{n\leq x}\frac{\mu (n)}{n}\right\vert &= \left\vert 1+\sum_{n\leq x}\mu (n)\left\{\frac{x}{n}\right\}\right\vert$ \leq 1 + \sum_{n\leq x}\left\{\frac{x}{n}\right\} \\ &= 1 + \{x\} + \sum_{2\leq n \leq x}\left\{\frac{x}{n}\right\} < 1 + \{x\}+[x]-1 = x \end{align*}$$ 이 된다. 양 변을 $x$ 로 나누면 증명이 완성됩니다.

 

이제 망골트 함수를 보기 위해, 르장드르 항등식을 보이겠습니다.

 

$x \geq 1$ 일 때, $$[x]! = \prod_{p\leq x}p^{\alpha (p)}$$ 이다. 이 때, $$\alpha (p) = \sum_{m=1}^{\infty} \left[\frac{x}{p^m}\right]$$ 이다.

 

Proof

$$\log [x]! = \sum_{n\leq x}\Lambda \left[\frac{x}{n}\right] = \sum_{p\leq x}\sum_{m=1}^{\infty}\left[\frac{x}{p^m}\right] \log p = \sum_{p\leq x}\alpha (p) \log p$$ 가 성립합니다. 그러므로 증명이 완성됩니다.

 

이제 오일러의 합 공식을 사용하여 $\log [x]!$ 의 점근식을 얻겠습니다.

 

$x \geq 2$ 일 때 $$\log [x]! = \sum_{n\leq x} \Lambda (n) \left[\frac{x}{n}\right] = x\log x - x + O(\log x)$$ 이다.

 

Proof

$f(t) = \log t$ 에 대해 오일러의 합 공식을 사용하면 $$\begin{align*} \sum_{n\leq x}\log n &= \int_{1}^{x}\log t dt + \int_{1}^{x}\frac{t-[t]}{t}dt - (x-[x])\log x \\ &= x \log x - x + 1 + \int_{1}^{x}\frac{{t}-[t]}{t}dt +O(\log x)\end{align*}$$ 인데, $\int_{1}^{x}\frac{t-[t]}{t}dt = O\left(\int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt\right) = O(\log x)$ 이므로 증명이 완성됩니다.

 

또한, 소수에 대해 다음 점근식이 성립한다.

 

$x \geq 2$ 일 때, $$\sum_{p\leq x}\left[\frac{x}{p}\right]\log p = x\log x + O(x)$$ 이다.

 

Proof

$$\sum_{n\leq x}\left[\frac{x}{n}\right]\Lambda(n) = \sum_{p}\sum_{m=1}^{\infty} \left[\frac{x}{p^m}\right] \Lambda(p^m)$$ 이다. 이 때 마지막 합은 $$\sum_{p\leq x}\sum_{m=1}^{\infty}\left[\frac{x}{p^m}\right]\log p = \sum_{p\leq x}\left[\frac{x}{p}\right]\log p + \sum_{p\leq x}\sum_{m=2}^{\infty}\left[\frac{x}{p^m}\right]\log p$$ 이고, $$\begin{align*}\sum_{p\leq x}\log p\sum_{m=2}^{\infty}\left[\frac{x}{p^m}\right] &\leq \sum_{p\leq x}\log p \sum_{m=2}^{\infty}\frac{x}{p^m} = x\sum_{p\leq x}\log p \sum_{m=2}^{\infty}\left(\frac{1}{p}\right)^m \\ &= x\sum_{x\leq n}\log p \frac{1}{p^2}\frac{1}{1-\frac{1}{p}}  = x\sum_{p\leq x}\frac{\log p}{p(p-1)} \\ &\leq x\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\log n}{n(n-1)} = O(x)\end{align*}$$ 입니다. 따라서 $$\sum_{n\leq x}\left[\frac{x}{n}\right]\Lambda (n) = \sum_{p\leq x}\left[\frac{x}{p}\right]\log p + O(x)$$ 이고, 따라서 증명이 완성됩니다.