$\textbf{A}$ 가 N차원 벡터공간 $\mathcal{V}$ 의 linear operator 이고, 항등적으로 0 이 아닌 determinant function $\Delta$ 와 basis $\{\vert v_i \rangle\}_{i=1}^{N}$ 에 대해 $\Delta_A$ 를 $$\Delta_A \left(\vert v_1 \rangle, \cdots, \vert v_N \rangle \right)= \Delta \left(\textbf{A}\vert v_1 \rangle, \cdots, \textbf{A}\vert v_N \rangle\right)$$ 처럼 정의하겠습니다.

그러면 $\Delta_A$ 도 자명하게 determinant function 이고, 이는 $\Delta$ 의 상수배가 되므로 $\Delta_A = \alpha \Delta$ 처럼 쓸 수 있습니다. 그러면 또 다른 항등적으로 0이 아닌 determinant function $\Delta'$ 에 대해 $$\Delta_A' = \lambda \Delta_A = \lambda\alpha \Delta = \alpha \Delta'$$ 처럼 쓸 수 있고, 이는 곧 $\alpha$ 가 오직 $\textbf{A}$ 에만 의존함을 의미합니다.

$\textbf{A}\in\text{End}\left(\mathcal{V}\right)$ 에 대해 $\Delta$ 가 항등적으로 0이 아닌 $\mathcal{V}$ 의 determinant function 이고 $\Delta_A$ 를 위처럼 정의하면, $$\Delta_A = \det \textbf{A}\cdot \Delta$$ 처럼 $\textbf{A}$ 의 determinant 를 정의합니다.

Theorem

$\textbf{A}$ 의 determinant 에 대해 다음 성질이 성립합니다.

(1) $\textbf{A} = \lambda \textbf{1}$ 이면 $\det \textbf{A} = \lambda^N$

(2) $\textbf{A}$ 가 invertible 함과 $\det\textbf{A}\neq 0$ 은 동치입니다.

(3) $\det \left(\textbf{A} \circ \textbf{B}\right) = \det \textbf{A} \det \textbf{B}$

$\mathcal{V}$ 를 N 차원 벡터공간이라 하고 $\Delta$ 가 $\mathcal{V}$ 의 determinant function 이면서 $\textbf{A} \in \text{End}\left(\mathcal{V}\right)$ 일 때, $\vert v \rangle, \vert v_i \rangle \in \mathcal{V}$ 에 대하여 $\Phi : \mathcal{V}^N \to \text{end}\left(\mathcal{V}\right)$ 를 $$\Phi \left(\vert v_1 \rangle, \cdots, \vert v_N\rangle\right)\vert v\rangle \\ = \sum_{j=1}^{N} (-1)^{j-1}\Delta \left(\vert v\rangle, \textbf{A}\vert v_1 \rangle, \cdots, \widehat{\textbf{A}\vert v_j \rangle}, \cdots, \textbf{A}\vert v_N \rangle\right)\cdot \vert v_j \rangle$$ 로 정의합니다. 여기서 $\widehat{\textbf{A}\vert v_j\rangle}$ 은 그 부분을 없애고 생각한다는 뜻입니다. 그러면 자명하게 $\Phi$ 는 skew-symmetric 입니다. 따라서 다음 조건을 만족하는 linear operator 가 유일하게 존재하고, 이를 $\text{ad}\left(\textbf{A}\right)$ 처럼 쓰겠습니다. $$\Phi \left(\vert v_1 \rangle, \cdots, \vert v_N \rangle \right) = \Delta \left(\vert v_1 \rangle, \cdots, \vert v_N \rangle \right) \cdot \text{ad}\left(\textbf{A}\right)$$ 그러면 $\text{ad}\left(\textbf{A}\right)$ 는 determinant function 과 무관하게 결정되고, 이를 $\textbf{A}$ 의 classical adjoint 라 합니다.

Proposition

Classical adjoint 에 대해 다음 식이 성립합니다. $$\text{ad}\left(\textbf{A}\right) \circ \textbf{A} = \det \textbf{A} \cdot \textbf{1} = \textbf{A}\circ \text{ad}\left(\textbf{A}\right)$$

Proof

$\vert v \rangle$ 자리에 $\textbf{A}\vert v\rangle$ 을 대입하면 $$\sum_{j=1}^{N} (-1)^{j-1}\Delta\left(\textbf{A}\vert v\rangle, \textbf{A}\vert v_1\rangle, \cdots, \widehat{\textbf{A}\vert v_j \rangle}, \cdots, \textbf{A}\vert v_N\rangle\right)\cdot \vert v_j\rangle \\ = \Delta\left(\vert v_1 \rangle, \cdots, \vert v_N \rangle\right) \text{ad}\left(\textbf{A}\right)\circ \textbf{A}\vert v\rangle$$ 여기서 좌변을 정리하면 $$\det \textbf{A} \cdot \sum_{j=1}^{N} (-1)^{j-1}\Delta \left(\vert v\rangle, \vert v_1 \rangle, \cdots, \widehat{\vert v_j \rangle}, \cdots, \vert v_N \rangle \right) \cdot \vert v_j \rangle \\ = \det \textbf{A} \cdot \Delta\left(\vert v_1 \rangle, \cdots, \vert v_N \rangle \right)\cdot \vert v\rangle$$ 이 되고, $\vert v \rangle$ 이 임의의 벡터이므로 위 등식이 증명됩니다.

Corollary

$\det \textbf{A}\neq 0$ 이면 $\textbf{A}$ 는 invertible 하고 $$\textbf{A}^{-1}=\dfrac{1}{\det \textbf{A}}\cdot \text{ad}\left(\textbf{A}\right)$$ 가 성립합니다.

$\mathcal{V}, \mathcal{U}$ 가 벡터공간이고 $\mathcal{V}^p$ 가 $\mathcal{V}$ 의 Cartesian product 라 하겠습니다. 그러면 p-linear map $\theta : \mathcal{V}^p \to \mathcal{U}$ 는 $$\theta \left(\vert a_1 \rangle, \cdots, \alpha \vert a_j \rangle + \beta \vert b_j \rangle, \cdots, \vert a_p \rangle \right) \\ = \alpha \theta \left(\vert a_1 \rangle, \cdots, \vert a_j \rangle, \cdots, \vert a_p \rangle \right) + \beta \theta \left(\vert a_1 \rangle, \cdots, \vert b_j , \cdots, \vert a_p \rangle \right)$$ 를 만족합니다. 그리고 $\mathcal{V}$ 에서 $\mathbb{C}$ 또는 $\mathbb{R}$ 로 가는 p-linear map 을 p-linear function 이라 합니다.

$\sigma$ 를 $1, 2, \cdots, p$ 의 permutation 이라 할 때 만약 $\mathcal{V}$ 에서 $\mathcal{U}$ 로 가는 p-linear map $\omega$ 가 $$\omega\left(\vert a_{\sigma(1)}\rangle, \cdots, \vert a_{\sigma(p)}\rangle \right) = \epsilon_{\sigma}\omega \left(\vert a_1 \rangle, \cdots, \vert a_p \rangle\right)$$ 을 만족한다면, $\omega$ 를 skew-symmetric 이라고 합니다. 여기서 $\epsilon_{\sigma}$ 는 $\sigma$ 가 even 이면 $+1$, odd 이면 $-1$ 의 값을 갖는 변수입니다. $\mathcal{V}$ 에서 $\mathcal{U}$ 로 가는 p-linear skew-symmetric funciton 의 집합을 $\Lambda^p \left(\mathcal{V}, \mathcal{U}\right)$ 처럼 씁니다.

임의의 p-linear mpa $\theta$ 에 대해, $$\omega = \sum_{\pi}\epsilon_{\pi}\cdot\pi\theta$$ 처럼 정의하면, $$\begin{align*}\sigma\omega &= \sigma\sum_{\pi}\epsilon_{\pi}\cdot \pi\theta = \sum_{\pi}\epsilon_{\pi}\cdot \left(\sigma\pi\right) \theta = \left(\epsilon_{\sigma}\right)^2 \sum_{\pi}\epsilon_{\pi}\epsilon_{\pi}\cdot \left(\sigma\pi\right)\theta \\ &= \epsilon_{\sigma}\sum_{\pi}\left(\epsilon_{\sigma}\epsilon_{\pi}\right) \cdot \left(\sigma \pi\right)\theta = \epsilon_{\sigma}\sum_{\sigma\pi}\epsilon_{\sigma\pi}\cdot \left(\sigma\pi\right)\theta = \epsilon_{\sigma}\cdot \omega\end{align*}$$ 가 되어 $\omega$ 는 skew-symmetric 합니다.

Theorem

$\omega \in \Lambda^{p}\left(\mathcal{V}, \mathcal{U}\right)$ 에 대해 다음이 동치입니다.

(1) $i\neq j$ 에 대해 $\vert a_i \rangle =\vert a_j \rangle$ 이면 $\omega\left(\vert a_1 \rangle, \cdots, \vert a_p\rangle \right) = 0$

(2) 임의의 permutation $\sigma$ 와 $\vert a_1 \rangle, \cdots, \vert a_p \rangle \in \mathcal{V}$ 에 대해 $\omega \left(\vert a_{\sigma(1)}\rangle, \cdots, \vert a_{\sigma(p)}\rangle \right) = \epsilon_{\sigma}\omega\left(\vert a_1 \rangle, \cdots, \vert a_p \rangle \right)$

(3) $\{\vert a_k \rangle\}_{k=1}^{p}$ 가 linearly dependent 하면 $\omega \left(\vert a_1 \rangle, \cdots, \vert a_p \rangle \right) = 0$

Proposition

$\dim \mathcal{V} = N$ 과 $\omega \in \Lambda^{N}\left(\mathcal{V}, \mathcal{U}\right)$ 에 대해, $\mathcal{V}$ 의 basis 에 대한 $\omega$ 의 함숫값으로 $\omega$ 를 유일하게 결정할 수 있습니다.

Proof

$\{\vert e_k \rangle \}_{k=1}^{N}$ 이 $\mathcal{V}$ 의 basis 이고 $\{\vert a_j \rangle\}_{j=1}^N$ 이 $\mathcal{V}$ 의 원소인 임의의 $N$ 개 벡터이고 $\vert a_j \rangle = \sum_{k=1}^{N} \alpha_{jk}\vert e_k \rangle$ 로 쓸 수 있다면 $$\begin{align*}\omega\left(\vert a_1 \rangle, \cdots, \vert a_N \rangle \right) &= \sum_{k_1, \cdots, k_N = 1}^{N}\alpha_{1k_1}\cdots \alpha_{Nk_N}\omega\left(\vert e_{k_1}\rangle, \cdots, \vert e_{k_N}\rangle \right) \\ &= \sum_{\pi}\alpha_{1\pi(1)}\cdots \alpha_{N\pi(N)}\omega\left(\vert e_{\pi(1)}\rangle, \cdots, \vert e_{\pi(N)}\rangle \right) \\ &= \left(\sum_{\pi}\epsilon_{\pi}\alpha_{1\pi(1)}\cdots\alpha_{N\pi (N)}\right) \omega\left(\vert e_1 \rangle, \cdots, \vert e_N\rangle \right)\end{align*}$$ 가 되어, basis 에 대한 $\omega$ 의 값으로 유일하게 결정됩니다.

$\mathcal{V}$ 에 대한 skew symmetric N-linear function 을 determinant function 이라고 부릅니다.

$\mathcal{B} = \{\vert e_k\rangle \}_{k=1}^{N}$ 이 $\mathcal{V}$ 의 basis 이고 $\mathcal{B}^* = \{ \epsilon_j\}_{j=1}^{N}$ 이 $\mathcal{B}$ 의 dual 인 $\mathcal{V}^*$ 의 basis 라 하겠습니다. $\mathcal{V}$ 안의 $N$ 개 벡터 집합 $\{\vert a_k \rangle\}_{k=1}^{N}$ 에 대해 N-linear function 을 $$\theta\left(\vert a_1 \rangle, \cdots, \vert a_N\rangle \right) = \epsilon_1 \left(\vert a_1 \rangle \right) \cdots \epsilon_N \left \vert a_N\rangle \right)$$ 라 두겠습니다. 이 때 $\Delta = \sum_{\pi}\epsilon_{\pi}\cdot \pi\theta$ 라 정의했을 때 $\Delta \in \Lambda^N \left(\mathcal{V}\right)$ 임은 자명하므로 determinant function 이고, $$\Delta \left(\vert e_1 \rangle, \cdots, \vert e_N \rangle\right) = \sum_{\pi}\epsilon_{\pi}\cdot \pi\theta\left(\vert e_1 \rangle, \cdots, \vert e_N \rangle \right) = \sum_{\pi}\epsilon_{\pi}\delta_{\eta\pi}=\epsilon_{\eta}=1$$ 이 되므로, 임의의 유한차원 벡터공간에 대해 항등적으로 0이 아닌 determinant function 이 존재함을 알 수 있습니다.

Proposition

$\omega \in \Lambda^N \left(\mathcal{V}, \mathcal{U}\right)$ 에 대해, $\Delta$ 가 항등적으로 0 이 아닌  $\mathcal{V}$ 의 determinant function 이라고 하겠습니다. 그러면 $\omega$ 는 다음 조건을 만족하는 유일한 $\vert u_{\Delta}\rangle \in\mathcal{U}$ 를 결정합니다. $$\omega \left(\vert v_1\rangle, \cdots, \vert u_N \rangle \right) = \Delta \left(\vert v_1 \rangle, \cdots, \vert v_N \rangle \right)\cdot \vert u_{\Delta}\rangle$$

Proof

$\{\vert v_k \rangle\}_{k=1}^{N}$ 이 $\mathcal{V}$ 의 basis 이고 $\Delta \left(\vert v_1 \rangle, \cdots, \vert v_N \rangle \right) \neq 0$ 이라 하겠습니다. 그러면 벡터의 크기를 조절하여 $\Delta \left(\vert v_1 \rangle, \cdots, \vert v_N \rangle \right) = 1$ 이 되도록 할 수 있습니다. 그 때 $\omega \left(\vert v_1\rangle, \cdots, \vert v_N\rangle \right) = \vert u_{\Delta }\rangle$ 이라 하면 $\omega - \Delta \cdot \vert u_{\Delta }\rangle $ 는 $\{\vert u_k \rangle\}_{k=1}^{N}$ 에 대해 사라지므로, basis 에 대해 $0$ 이 되어 항등적으로 $0$ 이 되고 증명이 완성됩니다.

linear transformation 의 중요한 예시는, $\mathcal{V}$ 에서 $\mathbb{C}$ 또는 $\mathbb{R}$ 로 향하는 linear transformation 입니다. 이는 linear functional 이라고 부르고 $\mathcal{L}\left(\mathcal{V}, \mathbb{C}\right), \mathcal{L}\left(\mathcal{V}, \mathbb{R}\right)$ 처럼 씁니다. 만약 $\mathcal{V}$ 가 실벡터공간이라면 이들은 $\mathcal{V}^*$ 이라 쓰고, $\mathcal{V}$ 의 dual space 라 부릅니다.

$N$ 차원 벡터공간의 basis 가 $\mathcal{B} = \{\vert a_1 \rangle, \vert a_2 \rangle, \cdots, \vert a_N \rangle\}$ 이고, $N$ 개의 scalar $\{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_N\}$ 이라 할 때 linear functional $\phi_a$ 를 $\phi_a \vert a_i \rangle = \alpha_i$ 로 정의하겠습니다. 그러면 $$\phi_a \vert b\rangle = \phi_a \left(\sum_{i=1}^{N}\beta_i \vert a_i \rangle\right) = \sum_{i=1}^{N}\beta_i \phi_a \vert a_i \rangle = \sum_{i=1}^{N} \beta_i a_i$$ 가 되고, 따라서 $\phi_a$ 는 $\{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_N\}$ 에 의해 유일하게 결정됩니다.

그러면 $\phi_1, \phi_2, \cdots, \phi_N$ 을 각각 $\{1, 0, \cdots, 0\}, \{0, 1, 0, \cdots, 0\}, \cdots, \{0, \cdots, 0, 1\}$ 에 대응되는 함수라고 했을 때, 즉 $$\phi_i \vert a_j \rangle = \delta_{ij}$$ 라 했을 때, 이들은 $\mathcal{V}^*$ 의 basis 로 작동합니다. 임의의 $\gamma \in \mathcal{V}^*$ 에 대하여, $$\gamma \vert a \rangle = \gamma \left(\sum_{i=1}^{N} \alpha_i \vert a_i\rangle \right) = \sum_{i=1}^{N} \alpha_i \gamma \vert a_i \rangle = \sum_{i=1}^{N} \alpha_i \gamma_i$$ 가 되고, $$\begin{align*}\left(\sum_{i=1}^{N} \gamma_i \phi_i \right)\vert a \rangle &= \left(\sum_{i=1}^{N} \gamma_i \phi_i \right)\left(\sum_{j=1}^{N} \alpha_j \vert a_j \rangle \right) \\ &= \sum_{i=1}^{N} \gamma_i \sum_{i=1}^{N}\alpha_j \phi_i \vert a_j \rangle = \sum_{i=1}^{N} \gamma_i \alpha_i\end{align*}$$ 가 되므로, $\gamma = \sum_{i=1}^{N} \gamma_i \phi_i$ 를 얻어 $\{\phi_i\}_{i=1}^{N}$ 이 $\mathcal{V}^*$ 를 span 함을 알 수 있고, 선형독립임은 쉽게 보여집니다.

Theorem

$\mathcal{B} = \{\vert a_j \rangle \}_{j=1}^{N}$ 이 $\mathcal{V}$ 의 basis 일 때, $\mathcal{B}^* = \{\phi_i \}_{i=1}^{N}$ 을 $\phi_i \vert a_j \rangle = \delta_{ij}$ 가 성립하도록 잡으면 $\mathcal{B}^*$ 가 $\mathcal{V}^*$ 의 basis 가 됩니다.

이 때 $\mathcal{B}^*$ 를 $\mathcal{B}$ 의 dual basis 라고 합니다.

$\vert a\rangle \in \mathcal{V}$ 의 annihilator 란, linear function $\phi \in \mathcal{V}^*$ 가 $\phi\vert a\rangle = 0$ 을 만족하는 것입니다. $\mathcal{W}$ 가 $\mathcal{V}$ 의 subspace 라면 $\mathcal{V}^*$ 의 linear functional 중 $\mathcal{W}$ 의 모든 벡터를 annihilate 하는 것의 집합을 $\mathcal{W}^0$ 처럼 씁니다.

여기서 $\mathcal{W}^0$ 이 $\mathcal{V}^*$ 의 subspace 임을 쉽게 확인할 수 있습니다. 또 만약 $\{\vert a_i \rangle \}_{i=1}^{k}$ 가 $\mathcal{W}$ 의 basis 고 이를 확장해 $\mathcal{V}$ 의 basis $\mathcal{B} = \{\vert a_i \rangle \}_{i=1}^{N}$ 를 얻었다면, $\mathcal{B}^* = \{\phi_j \}_{j=1}^{N}$ 의 부분집합 $\{\phi_j \}_{j=k+1}^{N}$ 이 $\mathcal{W}^0$ 를 span 하고, 따라서 $$\dim \mathcal{V} = \dim \mathcal{W} + \dim \mathcal{W}^0$$ 이 됨을 알 수 있습니다.

선형변환 $\textbf{T} : \mathcal{V} \to \mathcal{U}$ 에 대해 $\textbf{T}^*: \mathcal{U}^* \to \mathcal{V}^*$ 를 $$[\textbf{T}^*\left(\gamma\right)\vert a\rangle = \gamma \left(\textbf{T}\vert a\rangle \right)\quad \forall \vert a\rangle \in \mathcal{V}, \gamma \in \mathcal{U}^*$$ 처럼 정의하면, $\textbf{T}^*$ 은 $\textbf{T}$ 의 dual 또는 pullback 이라 불립니다.

이 때 $\textbf{T}^* \in \mathcal{L}\left(\mathcal{U}^*, \mathcal{V}^* \right)$ 가 됨을 쉽게 보일 수 있고, $\text{ker}\textbf{T}^*$ 는 $\textbf{T}\vert a\rangle$ 을 모두 annihilate 하는 $\gamma$ 의 집합이 됩니다. 또 만약 $\textbf{T}$ 가 surjective 하다면 $\text{ker}\textbf{T}^* = \{0\}$ 이 되고, $\textbf{T}^*$ 는 injective 함을 알 수 있습니다. 반대로 $\textbf{T}$ 가 injective 하면 $\textbf{T}^*$ 는 surjective 합니다.

Proposition

$\textbf{T}$ 가 linear transformation 이고 $\textbf{T}^*$ 가 pullback 이면, $\text{ker}\textbf{T}^* = T\left(\mathcal{V}\right)^0$ 이고, $\textbf{T}$ 가 surjective(injective) 하면 $\textbf{T}^*$ 은 injective(surjective) 합니다. 따라서 $\textbf{T}$ 가 isomorphism 이면 $\textbf{T}^*$ 도 isomorphism 입니다.

Inner product 와 linear functional 사이의 관계를 살피는 것은 큰 도움이 됩니다. 이를 위해 basis $\{\vert a_i \rangle \}_{i=1}^{N}$ 을 잡고, $\alpha_i = \langle a \vert a_i \rangle$ 이라 하면, $\{\alpha_i\}_{i=1}^{N}$ 이  linear functional $\gamma_a$ 를 유일하게 결정하고 $\gamma_a \vert a_i \rangle = \alpha_i$ 이므로 $\gamma_a = \langle a \vert$ 처럼 쓸 수 있고, $$\left(\vert a\rangle\right)^{\dagger} = \langle a \vert$$ 와 같은 기호 $\dagger$ 를 도입하면, (이는 dagger 라 불립니다.) $$\left(\alpha\vert a \rangle + \beta \vert b \rangle \right)^{\dagger}=\alpha^* \langle a \vert + \beta^* \langle b \vert$$ 가 되고, 그러므로 $$\gamma_{\alpha a + \beta b} \mapsto \alpha^* \langle a \vert + \beta^* \langle b \vert$$ 가 됩니다. 그리고 $\vert a \rangle \in \mathbb{C}^n$ 을 $$\vert a \rangle = \begin{pmatrix}\alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix}$$ 처럼 쓰면, $$\langle a\vert = \begin{pmatrix}\alpha_1^* & \alpha_2^* & \cdots & \alpha_n^* \end{pmatrix}$$ 가 되고 $$\langle a \vert b \rangle = \sum_{i=1}^{n}\alpha_i^* \beta_i$$ 가 됩니다.

이전까지 벡터 공간을 다루면서, 스칼라의 성질을 바꾸는 것은 피했습니다. 벡터 공간이 복소수라고 선언한 순간 스칼라는 계속해서 복소수였고, 실수라고 선언하면 스칼라는 계속해서 실수였습니다. 이 글에서는 스칼라를 바꾸는 경우와, 그 때 벡터 공간의 구조가 어떻게 변하는지를 알아보려고 합니다.

$\mathbb{F}$ 를 $\mathbb{C}$ 또는 $\mathbb{R}$ 이라 할때, $\mathbb{F}$-linear space $\mathcal{V}$ 의 inner product 는 다음 조건을 만족하는 $g : \mathcal{V} \times \mathcal{V} \to \mathbb{F}$ 를 의미합니다

(1) $g\left(\vert a \rangle, \vert b \rangle\right) = g\left(\vert b \rangle, \vert a \rangle\right)$

(2) $\begin{align*} g\left(\vert x \rangle, \alpha\vert a \rangle + \beta \vert b \rangle\right) &= \alpha g\left(\vert x \rangle, \vert a \rangle\right) + \beta g\left(\vert x \rangle, \vert b \rangle\right) \\ g\left(\alpha\vert a \rangle + \beta \vert b \rangle, \vert x \rangle\right) &= \alpha g\left(\vert a \rangle, \vert x \rangle\right) + \beta g\left(\vert b \rangle, \vert x \rangle\right)\end{align*}$

(3) $g\left(\vert x \rangle, \vert a \rangle\right) = 0\quad\forall \vert x \rangle \in \mathcal{V} \quad \Rightarrow\quad \vert a \rangle = \vert 0 \rangle$

위 조건을 bra 와 ket 을 모두 사용하여 나타내면, 다음처럼 쓸 수 있습니다.

(1) $\langle a \vert b \rangle_{\mathbb{F}} = \langle b \vert a \rangle_{\mathbb{F}}$

(2) $\begin{align*}\langle x \vert \alpha a + \beta b \rangle_{\mathbb{F}} &= \alpha \langle x \vert a \rangle_{\mathbb{F}} + \beta \langle x\vert b \rangle_{\mathbb{F}} \\ \langle \alpha a + \beta b \vert x \rangle_{\mathbb{F}} &= \alpha \langle a \vert x \rangle_{\mathbb{F}} + \beta\langle b\vert x \rangle_{\mathbb{F}}\end{align*}$

(3) $\langle x \vert a \rangle_{\mathbb{F}} = 0\quad \forall \vert x \rangle \in \mathcal{V}\quad\Rightarrow\quad \vert a \rangle = \vert 0 \rangle$

어떤 연산자 $\textbf{A} \in\text{End}\left(\mathcal{V}\right)$ 의 adjoint 는 $\textbf{A}^{T}$ 로 표시하고, $$\langle \textbf{A}a\vert b\rangle_{\mathbb{F}} = \langle a \vert \textbf{A}^T b\rangle_{\mathbb{F}}\quad \text{ or }\quad \langle a\vert \textbf{A}^T \vert b \rangle_{\mathbb{F}} = \langle b \vert \textbf{A} \vert a\rangle_{\mathbb{F}}$$ 로 정의합니다. 이 때 $\textbf{A}^T = \textbf{A}$ 라면 self-adjoint 하다고 하고, $\textbf{A}^T = -\textbf{A}$ 이면 skew 라고 합니다. 그리고 정의에 의해 $\left(\textbf{A}^T\right)^T = \textbf{A}$ 가 됩니다.

Proposition

연산자 $\textbf{A}\in\text{End}\left(\mathcal{V}\right)$ 가 skew 인 것은 $\forall \vert x \rangle \in \mathcal{V}$ 에 대해 $\langle x \vert \textbf{A}x \rangle_{\mathbb{F}} = \langle x \vert \textbf{A}\vert x\rangle_{\mathbb{F}} = 0$ 인 것과 동치입니다.

Proof

만약 $\textbf{A}$ 가 skew 라면, $$\langle x \vert \textbf{A} \vert x\rangle_{\mathbb{F}} = \langle x \vert \textbf{A}^T \vert x\rangle_{\mathbb{F}} = -\langle x \vert \textbf{A} \vert x\rangle_{\mathbb{F}} \quad \Rightarrow\quad \langle x \vert \textbf{A}\vert x\rangle_{\mathbb{F}}=0$$ 이 성립합니다. 반대로 모든 $\vert x \rangle \in \mathcal{V}$ 에 대해 $\langle x \vert \textbf{A}\vert x \rangle_{\mathbb{F}}=0$ 이라 하면 $\alpha, \beta \in \mathbb{F}$ 와 $\vert a \rangle, \vert b \rangle \in \mathcal{V}$ 가 모두 $0$ 이 아닐 때 $$\begin{align*}0 &= \langle \alpha a + \beta b \vert \textbf{A} \vert \alpha a + \beta b \rangle_{\mathbb{F}} \\ &= \alpha^2 \langle a \vert \textbf{A}\vert a \rangle_{\mathbb{F}} + \alpha \beta \langle a \vert \textbf{A} \vert b \rangle_{\mathbb{F}} + \alpha \beta \langle b \vert \textbf{A}\vert a \rangle_{\mathbb{F}} + \beta^2 \langle b\vert \textbf{A}\vert b \rangle_{\mathbb{F}} \\ &= \alpha \beta \left(\langle b \vert \textbf{A} \vert a \rangle_{\mathbb{F}} + \langle b \vert \textbf{A}^T \vert a\rangle_{\mathbb{F}}\right)\end{align*}$$ 인데 $\alpha\beta \neq 0$ 이므로 $\langle b \vert \textbf{A}+\textbf{A}^T\vert a\rangle_{\mathbb{F}} = 0$ 을 얻고, 따라서 $\left(\textbf{A} + \textbf{A}^T\right)\vert a \rangle = \vert 0 \rangle$ 이어야 하며 이는 곧 $\textbf{A}^T = -\textbf{A}$ 를 의미합니다.

실벡터공간 $\mathcal{V}$ 에 대해 complex structure $\textbf{J}$ 는 $\textbf{J}^2 = -\textbf{1}$ 이고, $\langle \textbf{J}a \vert \textbf{J}b\rangle = \langle a \vert b \rangle$ 이 모든 $\vert a\rangle, \vert b\rangle \in \mathcal{V}$ 에 대해 성립하는 것입니다.

Proposition

complex structure $\textbf{J}$ 는 skew 이다.

Proof

$\vert a \rangle \in \mathcal{V}$ 와 $\vert b\rangle = \textbf{J}\vert a\rangle$ 에 대해 $$\langle a \vert \textbf{J}a \rangle = \langle a\vert b \rangle = \langle \textbf{J}a \vert \textbf{J}b \rangle = \langle \textbf{J}a \vert \textbf{J}^2 a \rangle = -\langle \textbf{J}a \vert a \rangle$$ 이고, $$\langle a \vert \textbf{J}a \rangle = \langle a \vert b\rangle = \langle b \vert a\rangle = \langle \textbf{J}a\vert a\rangle$$ 이므로 $\langle a\vert \textbf{J}a \rangle = 0$ 이고, 따라서 $\textbf{J}$ 는 skew 입니다.

$\vert a\rangle$ 이 $N$ 차원 실내적공간의 원소라고 하고, $\vert a\rangle$ 을 normalize 하여 $\vert e_1 \rangle$ 이 되었다고 하겠습니다. 그러면 $\textbf{J}\vert e_1\rangle$ 은 $\vert e_1 \rangle$ 과 orthogonal 하고, $\textbf{J}\vert e_1 \rangle$ 을 normalize 하면 $\vert e_2 \rangle$ 을 얻습니다. $N > 2$ 이면, $\vert e_3 \rangle$ 이 $\vert e_1\rangle, \vert e_2 \rangle$ 과 수직인 unit vector 라 할 때 $\vert a_3 \rangle = \textbf{J}\vert e_3 \rangle$ 은 자명하게 $\vert e_3 \rangle$ 과 orthogonal 하고, $$\begin{align*}\langle e_1 \vert a_3 \rangle &= \langle \textbf{J}e_1 \vert \textbf{J}a_3 \rangle = \langle \textbf{J}e_1 \vert \textbf{J}^2 e_3 \rangle \\ &= -\langle \textbf{J}e_1 \vert e_3 \rangle = -\langle e_2 \vert e_3\rangle = 0 \\ \langle e_2 \vert a_3 \rangle &= \langle \textbf{J}e_1 \vert \textbf{J}e_3\rangle = \langle e_1 \vert e_3 \rangle = 0\end{align*}$$ 이 됩니다. 이런 과정을 반복하면 다음 정리를 얻습니다.

Theorem

$\{\vert e_i \rangle, \textbf{J}\vert e_i \rangle\}_{i=1}^{m}$ 은 $N = 2m$ 에 대해 $N$ 차원 실벡터공간 $\mathcal{V}$ 의 orthonormal basis 가 되고, inner product 는 $\langle\vert\rangle_{\mathbb{R}} = \langle\vert\rangle$ 입니다. 그리고, $\mathcal{V}$ 가 complex structure $\textbf{J}$ 를 가지려면 반드시 짝수 차원이어야 합니다.

실벡터공간 $\mathcal{V}$ 에 대해 $\mathbb{C}\otimes \mathcal{V}$ 와 그 곱셈 $$\alpha \left(\beta \otimes \vert a \rangle \right) = \left(\alpha \beta \rangle \right)\otimes \vert a\rangle\qquad \alpha, \beta \in \mathbb{C}$$ 는 complex vector space 가 되고, $\mathcal{V}$ 의 complexification 이라 불리며 $\mathcal{V}^{\mathbb{C}}$ 처럼 씁니다. 그리고 $$\left(\mathbb{R}^n\right)^{\mathbb{C}} = \mathbb{C}\otimes \mathbb{R}^n \cong \mathbb{C}^n$$ 입니다.

여기서 $\dim_{\mathbb{C}}\mathcal{V}^{\mathbb{C}} = \dim_{\mathbb{R}}\mathcal{V}$ 이고, $\dim_{\mathbb{R}}\mathcal{V}^{\mathbb{C}} = 2\dim_{\mathbb{R}}\mathcal{V}$ 가 됨을 기억하면 좋습니다. 만약 $\{\vert a_k \rangle\}_{k=1}^{N}$ 이 $\mathcal{V}$ 의 basis 라면, complex vector space $\mathcal{V}^{\mathbb{C}}$ 의 basis 로도 작동하며, $\{\vert a_k \rangle, i\vert a_k \rangle\}_{k=1}^{N}$ 은 real vector space $\mathcal{V}^\mathbb{C}$ 의 basis 로 작동합니다.

그리고 $\mathcal{V}$ 를 inner product $\langle \vert \rangle_{\mathbb{R}}=\langle \vert \rangle$ 과 함께 complexifying 했다면, 다음처럼 inner product 를 sesquilinear 하게 정의할 수 있습니다.$$\langle \alpha\otimes a \vert \beta \otimes b\rangle = \alpha^* \beta \langle a \vert b \rangle$$

실벡터공간 $\mathcal{V}$ 를 complexify 하기 위해서는 $\mathcal{V}^{\mathbb{C}} = \mathbb{C} \otimes \mathcal{V}$ 처럼 복소수를 곱해야 하고, 그 결과로 원래 벡터공간의 두 배 차원을 얻게 됩니다. 그렇다면 역과정으로, 짝수차원 벡터공간을 나눌 수 있을지 생각해보겠습니다.

$\mathcal{V}$ 가 $2m$ 차원 실벡터공간이고 $\textbf{J}$ 가 그 complex structure 라 하겠습니다. 그리고 $\{\vert e_i \rangle, \textbf{J}\vert e_i \rangle\}_{i=1}^{m}$ 이 $\mathcal{V}$ 의 basis 라면, $\mathcal{V}_1 = \text{span}\{\vert e_i \rangle\}_{i=1}^{m}$ 은 $$\left( \alpha + i\beta \right)\otimes \vert v_1 \rangle = \left(a\textbf{1} + \beta \textbf{J}\right) \vert v_1 \rangle\qquad \alpha, \beta \in \mathbb{R}, \vert v_1 \rangle \in \mathcal{V}_1$$ 처럼 정의된 곱셈에 대해 $\mathcal{V}_1^{\mathbb{C}} = \mathcal{V}$ 가 됩니다.

벡터공간 $\mathcal{V}$ 와 $\mathcal{W}$ 가 isomorphic 하다는 것은 $\mathcal{V}\cong \mathcal{W}$ 처럼 쓰고, $\textbf{T} : \mathcal{V} \to \mathcal{W}$ 인 bijective linear transformation 이 존재함을 의미합니다. 이 때 $\textbf{T}$ 를 isomorphism 이라 부릅니다. 만약 $\textbf{T} : \mathcal{V} \to \mathcal{V}$ 가 isomorphism 이라면, 이는 automorphism, 혹은 invertible linear map 처럼 불리기도 합니다. 그리고 $\mathcal{V}$ 의 automorphism 의 집합을 $\text{GL}\left(\mathcal{V}\right)$ 처럼 씁니다.

Proposition

유한차원 벡터공간의 isometry 는 automorphism 입니다.

실용적인 목적에서, 두 isomorphic 한 벡터공간은 '동일한' 벡터공간의 서로 다른 표현입니다. 예를 들어, $\textbf{T} : \mathbb{C} \to \mathbb{R}^2$ 을 $\textbf{T}(x + iy) = (x, y)$ 처럼 정의하면 이는 isomorphism 이 되고, 이는 즉 $\mathcal{C}$ 와 $\mathcal{R}^2$ 이 정확히 동일한 수학적 구조를 가지도록 연산을 정의할 수 있다는 뜻입니다.

Theorem

Linear surjective map $\textbf{T} : \mathcal{V} \to \mathcal{W}$ 가 isomorphism 임과 nullity 가 $0$ 인 것은 동치입니다.

Theorem

Linear injective map $\textbf{T} : \mathcal{V} \to \mathcal{W}$ 은 linearly independent 한 벡터의 집합을 linearly independent 한 벡터의 집합으로 대응시킵니다.

Theorem

두 유한차원 벡터공간이 isomorphic 함은 두 벡터공간의 차원이 같음과 동치입니다.

위 세 가지 정리의 증명은 어렵지 않으므로 생략하겠습니다. 그리고 위 정리의 의미는 곧 모든 $N$ 차원 실벡터공간은 $\mathbb{R}^n$ 과 isomorphic 하고, 복소벡터공간은 $\mathbb{C}^n$ 과 isomorphic 하다는 데에 있습니다.

$\mathcal{V} = \mathcal{V}_1 \oplus \mathcal{V}_2$ 라 할 때, $\mathcal{V}$ 의 automorphism $\textbf{T}$ 에 대해 만약 $\textbf{T}\left(\mathcal{V}_1\right)= \mathcal{V}_1$ 이라면 $\textbf{T} \left(\mathcal{V}_2 \right) = \mathcal{V}_2$ 가 됩니다. 이를 보기 위해서는 우선 $\mathcal{V} = \mathcal{V}_1 \oplus \mathcal{V}_2 = \mathcal{V}_1 \oplus \mathcal{V}_2'$ 일 때 $\mathcal{V}_2 = \mathcal{V}_2'$ 임을 알아야합니다. 이는 $\mathcal{V}$ 의 basis 를 $\mathcal{V}_1$ 의 basis 로부터 확장해서 만드는 과정에서 자명합니다. 이제 $\textbf{T}\left(\mathcal{V}\right) = \mathcal{V}, \textbf{T}\left(\mathcal{V}_1 \right) = \mathcal{V}_1$ 이므로 $$\mathcal{V}_1 \oplus \mathcal{V}_2 = \mathcal{V} = \textbf{T}\left(\mathcal{V}\right) = \textbf{T}\left(\mathcal{V}_1 \oplus \mathcal{V}_2 \right) = \textbf{T}\left(\mathcal{V}_1 \right) \oplus \textbf{T}\left(\mathcal{V}_2\right) = \mathcal{V}_1 \oplus \textbf{T}\left(\mathcal{V}_2\right)$$ 가 되어 $\mathcal{V}_2 = \textbf{T}\left(\mathcal{V}_2\right)$ 가 참입니다.

Theorem

$\mathcal{V}, \mathcal{W}$ 가 벡터공간이고 $\textbf{T} : \mathcal{V} \to \mathcal{W}$ 가 linear transformation 이라 하겠습니다. $\mathcal{U}$ 가 $\mathcal{V}$ 의 subspace 일 때, $\textbf{T}' : \mathcal{V}/\mathcal{U} \to \textbf{T}\left(\mathcal{V}\right)$ 를 $\textbf{T}'\left([\![ a]\!]\right) = \textbf{T}\vert a \rangle$ 로 정의하면, $\textbf{T}'$ 은 isomorphsim 입니다.

Dimension theorem 의 또 다른 증명

$\textbf{T} : \mathcal {V} \to \mathcal{W}$ 가 linear map 이고, $\textbf{T}' : \mathcal{V} /\text{ker}\textbf{T} \to \textbf{T}\left(\mathcal{V}\right)$ 를 $\textbf{T}' \left([\![! a]\!]\right) = \textbf{T}\vert a \rangle$ 처럼 정의하겠습니다. 우선 map 이 well defined 임을 보이기 위해 $[\![a']\!] = [\![a]\!]$ 라 두면 $\vert k \rangle \in \text{ker}\textbf{T}$ 가 존재하여 $\vert a' \rangle = \vert a \rangle + \vert k \rangle$ 이 되고, 따라서 $$\textbf{T}'\left([\![a']\!]\right) = \textbf{T}\vert a'\rangle = \textbf{T} \vert a \rangle + \textbf{T} \vert k \rangle = \textbf{T} \vert a \rangle$$ 이 되어 well defined 이고, $\textbf{T}'$ 이 선형임은 쉽게 보일 수 있습니다. $\textbf{T}$ 이 isomorphism 임을 보이기 위해 $\vert x \rangle \in \textbf{T}\left(\mathcal{V}\right)$ 을 잡으면 $\vert x \rangle = \textbf{T}\vert y \rangle = \textbf{T}' \left([\![y]\!]\right)$ 인 $\vert y \rangle \in \mathcal{V}$ 가 성립하므로 $\textbf{T}'$ 은 surjective 입니다. 그리고 $\textbf{T}'\left([\![x]\!]\right) = \textbf{T}'\left([\![y]\!]\right)$ 이면 $\textbf{T}\vert y \rangle = \textbf{T} \vert x \rangle$ 에서 $\vert y \rangle - \vert x \rangle \in \text{ker}\textbf{T}$ 이고, 이는 곧 $[\![y ]\!] = [\![x]\!]$ 를 의미합니다. 따라서 $\textbf{T}'$ 은 isormophism 이고, $\dim \left(\mathcal{V}/\text{ker}\textbf{T}\right) = \dim \textbf{T}\left(\mathcal{V}\right)$ 이므로 $$\dim \mathcal{V} = \dim \textbf{T}\left(\mathcal{V}\right) +\dim \text{ker}\textbf{T} = \text{rank}\textbf{T} + \text{nullity}\textbf{T}$$ 가 됩니다.

$\mathcal{U}, \mathcal{V}, \mathcal{W}$ 가 복소벡터공간이라 할 때, linear map $$\textbf{T} : \left(\mathcal{U} \oplus \mathcal{V}\right) \otimes \mathcal{W} \to \left(\mathcal{U} \otimes \mathcal{W} \right) \oplus \left(\mathcal{V} \otimes \mathcal{W}\right)$$ 를 $$\textbf{T}\left(\left(\vert u \rangle + \vert v \rangle \right) \otimes \vert w \rangle \right) = \vert u \rangle \otimes \vert w \rangle + \vert v \rangle \otimes \vert w \rangle$$ 처럼 정의하면, $\textbf{T}$ 가 isomorphism 이 됨을 보이는 것은 어렵지 않습니다. 그러므로 $$\left(\mathcal{U} \oplus \mathcal{V}\right)\otimes \mathcal{W} \cong \left(\mathcal{U} \otimes \mathcal{W} \right) \oplus \left(\mathcal{V}\otimes \mathcal{W}\right)$$ 가 되고, $\dim \left(\mathcal{U}\otimes \mathcal{V}\right) = \dim\mathcal{U}\dim \mathcal{V}$ 이므로 $$\mathcal{U} \otimes \mathcal{V}\cong \mathcal{V} \otimes \mathcal{U}$$ 를 얻고, $\dim \mathbb{C} = 1$ 이므로 $$\mathbb{C} \otimes \mathcal{V} \cong \mathcal{V} \otimes \mathbb{C} \cong \mathcal{V}$$ 가 성립합니다.

Linear transformation 의 정의에서 $\mathcal{V}$ 의 영벡터는 $\mathcal{W}$ 의 영벡터에 대응됨을 알 수 있습니다. 다른 벡터가 어떻게 행동하는지는 다음 정리를 통해 알 수 있습니다.

Theorem

$\mathcal{V}$ 의 원소 중 $\textbf{T} : \mathcal{V} \to \mathcal{W}$ 에 의해 $\mathcal{W}$ 의 영벡터로 대응되는 것의 집합을 $\text{ker}\text{T}$ 라 하면, 이는 $\mathcal{V}$ 의 subspace 입니다. $\text{ker}\textbf{T}$ 는 kernel 혹은 null space 라고 부릅니다.

Proof

subspace 의 정의에 대입하면 어렵지 않게 보일 수 있습니다.

이 때 $\text{ker}\textbf{T}$ 의 dimension 을 nullity 라 부르기도 합니다.

Theorem

Linear transformation $\textbf{T} : \mathcal{V} \to \mathcal{W}$ 에 대해, range $\textbf{T}\left(\mathcal{V}\right)$ 는 $\mathcal{W}$ 의 subspace 가 됩니다. $\textbf{T}\left(\mathcal{V}\right)$ 의 dimension 은 $\textbf{T}$ 의 rank 라 불립니다.

Proof

subspace 의 정의에 대입하면 어렵지 않게 보일 수 있습니다.

Theorem

Linear transformation 이 injective 함과 그 kernel 이 $\{0\}$ 임은 동치입니다.

Proof

injective 할 때 kernel 이 $\{0\}$ 임은 정의에 의해 자명합니다. 역방향을 보이려면 $$\textbf{T}\vert a_1 \rangle = \textbf{T} \vert a_2 \rangle \quad \Leftrightarrow \quad \textbf{T}\left(\vert a_1 \rangle - \vert a_2 \rangle\right) = 0$$ 이므로, $\text{ker}\textbf{T} = 0$ 에 의해 $\vert a_1 \rangle = \vert a_2 \rangle$ 이 되어 증명이 완성됩니다.

Theorem

linear isometric transformation 은 injective 합니다.

Proof

$\textbf{T} : \textbf{T} \to \textbf{U}$ 가 linear isometry 라면, $\vert a \rangle \in \text{ker}\textbf{T}$ 에 대해 $$\langle a \vert a \rangle = \langle \textbf{T}a \vert \textbf{T}a \rangle = \langle 0 \vert 0 \rangle = 0$$ 이 되므로 $\vert a \rangle = \vert 0 \rangle$ 이 되고, 그러므로 $\textbf{T}$ 는 injective 합니다.

$\text{ker}\textbf{T}$ 의 basis 를 $\mathcal{B}' = \{\vert a_1 \rangle, \vert a_2 \rangle, \cdots, \vert a_n \rangle \}$ 라 두면, 적절히 벡터를 추가하여 이를 $\mathcal{V}$ 의 basis $\mathcal{B} = \{\vert a_1 \rangle, \vert a_2 \rangle, \cdots, \vert a_N \rangle \}$ 으로 만들 수 있습니다. 그러면 $N = \dim \mathcal{V}$ 이고 $n = \dim \text{ker} \textbf{T}$ 가 되고, $\textbf{T}\left(\mathcal{V}\right)$ 의 basis 가 $\{\textbf{T} \vert a_{n+1}\rangle, \cdots, \textbf{T}\vert a_N \rangle\}$ 이 됨은 쉽게 보일 수 있습니다. 그를 통해 다음 결과를 얻습니다.

Theorem(dimension theorem)

$\textbf{T} : \mathcal{V} \to \mathcal{W}$ 에 대해 $$\dim \mathcal{V} = \dim \text{ker} \textbf{T} + \dim \textbf{T}\left(\mathcal{V}\right)$$ 가 성립합니다.

Proposition

유한차원 벡터공간의 endomorphism 이 injective 하거나 surjective 하면 bijective 합니다.

예시를 하나 보면서 글을 마치도록 하겠습니다.

$\textbf{T} : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ 을 $$\textbf{T}(x_1, x_2, x_3, x_4) \\ = (2x_1 + x_2 + x_3 - x_4, x_1 + x_2 + 2x_3 +2x_4, x_1 - x_3 - 3x_4)$$ 처럼 정의하겠습니다. 이에 대해 $\textbf{T}(x_1, x_2, x_3, x_4) = (0, 0, 0)$ 인 $\textbf{T}$ 의 kernel 을 찾으면, $$\begin{align*}2x_1 + x_2 + x_3 - x_4 &= 0 \\ x_1 + x_2 + 2x_3 + 2x_4 &= 0 \\ x_1 - x_3 - 3x_4 &= 0\end{align*}$$ 을 풀어서 $x_1 = x_3 + 3x_4$ 와 $x_2 = -3x_3 - 5x_4$ 를 얻을 수 있습니다. 그러면 $\text{ker}\textbf{T}$ 는 $$(x_3 + 3x_4, - 3x_3 - 5x_4, x_3, x_4) = x_3 (1, -3, 1, 0) + x_4 (3, -5, 0, 1)$$ 이 되므로, $\dim \text{ker}\textbf{T} =2$ 입니다. [$(1, -3, 1, 0), (3, -5, 0, 1)$ 의 선형결합입니다.] 그리고 $\textbf{T}$ 의 range 는 $$\textbf{T}(x_1, x_2, x_3, x_4) \\ = (2x_1 + x_2 + x_3 - x_4)(1, 0, 1) + (x_1 + x_2 + 2x_3 + 2x_4)(0, 1, -1)$$ 이므로 $\text{rank}\textbf{T} = 2$ 입니다. [$(1, 0, 1), (0, 1, -1)$ 의 선형결합입니다.] 그리고 정의역의 차원은 $4$ 이므로 $$\dim \mathcal{V} = 4 = 2+ 2= \dim \text{ker} \textbf{T} + \dim \textbf{T}\left(\mathcal{V}\right)$$ 가 성립함을 알 수 있습니다.

복소벡터공간 $\mathcal{V}, \mathcal{W}$ 에 대해 $\textbf{T} : \mathcal{V} \to \mathcal{W}$ 가 $$\textbf{T}\left(\alpha \vert a \rangle + \beta \vert b \rangle \right) = \alpha \textbf{T} \left(\vert a \rangle \right) + \beta \mathbf{T} \left(\vert b \rangle \right) \quad \forall \vert a \rangle, \vert b \rangle \in \mathcal{V} \text{ and } \alpha, \beta \in \mathbb{C}$$ 를 만족하는 것을 선형변환(linear transformation)이라고 합니다. 또, $\textbf{T} : \mathcal{V} \to \mathcal{V}$ 인 선형변환을 $\mathcal{V}$ 의 endomorphism 혹은 linear operator 라 합니다. 그리고 $\textbf{T} \left(\vert a \rangle \right) = \textbf{T} \vert a \rangle$ 처럼 쓰기도 합니다.

같은 방식으로 실벡터공간에서도 정의할 수 있으며, 스칼라가 $\mathbb{R}$ 이 되는 것 뿐입니다.

$\mathcal{V}$ 에서 $\mathcal{W}$ 에서 가는 linear tranformation 의 집합을 $\mathcal{L}\left(\mathcal{V}, \mathcal{W}\right)$ 처럼 씁니다. 이 때 zero transformation $\text{0}$ 은 $\mathcal{V}$ 의 모든 벡터를 $\mathcal{W}$ 의 영벡터로 대응시킵니다. 그리고 $\textbf{T}, \textbf{U}$ 의 합과 스칼라곱을 $$\begin{align*}\left(\textbf{T} + \textbf{U} \right) \vert a \rangle &= \textbf{T} \vert a \rangle + \textbf{U} \vert a \rangle \\ \left(\alpha \text{T}\right) \vert a \rangle &= \alpha \textbf{T}\vert a \rangle\end{align*}$$ 처럼 정의하면, $\mathcal{L}\left(\mathcal{V}, \mathcal{W}\right)$ 는 벡터공간이 됩니다. $\mathcal{V}$ 의 endomorphism 의 집합은 $\mathcal{L}\left(\mathcal{V}\right)$ 혹은 $\text{End}\left(\mathcal{V}\right)$ 처럼 씁니다.

Inner product space $\mathcal{V}, \mathcal{U}$ 에 대해 linear tranformation $\textbf{T} : \mathcal{V} \to \mathcal{U}$ 가 $$\langle \textbf{T} a \vert \textbf{T} b \rangle = \langle a \vert b \rangle \quad \forall \vert a \rangle, \vert b \rangle \in \mathcal{V}$$ 를 만족하면, isometric 하다고 부릅니다. 만약 $\mathcal{U} = \mathcal{V}$ 이면 $\textbf{T}$ 는 $\mathcal{V}$ 의 isometry 라고 부릅니다. 그리고 $\mathcal{V}$ 의 isometry 는 unitary(orthogonal) operator 라 부르기도 합니다.

예를 들어, $\vert x \rangle \in \mathcal{P}^c [t]$ 가 $x(t) =\sum_{k=0}^{n}\alpha_k t^k$ 처럼 써질 때, $\vert y \rangle = \textbf{D} \vert x \rangle $ 에 대해 $y(t) = \sum_{k=1}^{n}k\alpha_k t^{k-1}$ 이 성립한다면, $\textbf{D}$ 는 linear operator 이고, derivative operator 라고 불립니다. 또한 $y(t) = \sum_{k=0}^{n}[\alpha / (k+1)] t^{k+1}$ 처럼 써지는 $\vert y \rangle = \textbf{S} \vert x \rangle$ 에 대해 $\textbf{S}$ 를 integration operator 라 부릅니다.

두 선형변환 $\textbf{T} : \mathcal{V} \to \mathcal{W}$ 와 $\textbf{U} : \mathcal{V} \to \mathcal{W}$ 가 같다는 것은, $\textbf{T} \vert a_i \rangle = \textbf{U} \vert a_i \rangle$ 이 $\mathcal{V}$ 의 basis 의 원소 $\vert a_i \rangle$ 에 대해 성립함을 의미합니다. 즉, linear transformation 이 basis 를 어디에 대응시키는지만 결정하면 벡터공간 전체에 대해 선형변환이 유일하게 결정됩니다.

Theorem

Inner product space 의 endomorphism $\textbf{T}$ 가 $\textbf{0}$ 라는 것은, $\langle b \vert \textbf{T} \vert a \rangle = \langle b \vert \textbf{T} a \rangle = 0$ 이 모든 $\vert a \rangle, \vert b \rangle$ 에 대해 성립하는 것과 동치입니다.

Proof

$\textbf{T} = \textbf{0}$ 이라면 자명하게 $\langle b \vert \textbf{T} \vert a \rangle = 0$ 입니다. 반대로 $\langle b \vert \textbf{T} \vert a\rangle = 0$ 이라면, $\vert b \rangle = \textbf{T} \vert a \rangle = \vert \textbf{T} a\rangle$ 라 둘 때 $$\langle \textbf{T} a \vert \textbf{T} a \rangle = 0 \quad \forall \vert a \rangle \quad \Leftrightarrow \quad \textbf{T} \vert a \rangle = 0 \quad \forall \vert a \rangle \quad \Leftrightarrow \quad \textbf{T} = \textbf{0}$$ 이 되어 증명이 완성됩니다.

Theorem

Inner product space 의 linear opartor $\textbf{T}$ 가 $\textbf{0}$ 인 것은 $\langle a \vert \textbf{T} \vert a \rangle = 0$ 이 모든 $\vert a\rangle$ 에 대해 성립하는 것과 동치입니다.

Proof

$\textbf{T} = \textbf{0}$ 이면 자명하게 $\langle a \vert \textbf{T} \vert a \rangle = 0$ 이 됩니다. 반대 경우에는 $\alpha \vert a\rangle + \beta \vert b \rangle$ 을 대입하면 $$\begin{align*}\alpha^* \beta \langle a\vert \textbf{T} \vert b \rangle + \alpha \beta^* \langle b \vert \textbf{T} \vert a \rangle =& \langle \alpha a + \beta b \vert \textbf{T} \vert \alpha a+ \beta b \rangle \\ &- \vert \alpha \vert^2 \langle a\vert \textbf{T} \vert a \rangle - \vert \beta \vert^2 \langle b \vert \textbf{T} \vert b \rangle\end{align*}$$ 이 되고, 이는 polarization identity 라 불립니다. 여기서 우변은 정리의 가정에 의해 $0$ 이 되고, 따라서 $\alpha = \beta = 1$ 이라 두면 $\langle a \vert \textbf{T} \vert b \rangle + \langle \vert \textbf{T} \vert a \rangle = 0$ 을 얻습니다. 그리고 $\alpha = 1, \beta = i$ 를 대입하면 $$\langle a \vert \textbf{T} \vert b\rangle - \langle b \vert \textbf{T} \vert a\rangle = 0$$ 을 얻어 $\langle a \vert \textbf{T} \vert b \rangle = 0$ 이 모든 $\vert a \rangle, \vert  b\rangle$ 에 대해 성립함을 알 수 있습니다. 그러면 $\textbf{T} = \textbf{0}$ 입니다.

그렇기 때문에 inner product space 에서 두 linear opartion $\textbf{T}$ 와 $\textbf{U}$ 가 같음을 보이려면 모든 $\vert a \rangle, \vert b\rangle$ 에 대해 $\langle a \vert \textbf{T} \vert b \rangle = \langle \vert \textbf{U}\vert b\rangle$ 이 됨을 보이는 것으로 충분합니다.

벡터 공간 $\mathcal{V}$ 와 그 basis $\mathcal{B}$ 에 대해, $\mathcal{B}$ 의 원소를 적절히 조절하여 orthonormal basis 로 바꿀 수 있습니다. 이 과정을 Gram-Schmidt orthonormalization 이라 합니다.

$\mathcal{B} = \{\vert a_i \rangle\}_{i=1}^{N}$ 에 대해 $\vert e_1 \rangle = \vert a_1 \rangle / \sqrt{\langle a_1 \vert a_1 \rangle}$ 이라 두면, $\langle e_1 \vert e_1 \rangle = 1$ 입니다. 여기서 $\vert e_2' \rangle = \vert a_2 \rangle - \vert e_1 \rangle \langle e_1 \vert a_1 \rangle$ 이라 두면, 즉, $a_2$ 를 $e_1$ 방향으로 사영한 벡터를 $a_2$ 에서 빼주면 $\langle e_1 \vert e_2' \rangle = 0$ 이 됩니다. 또, 이를 normalize 하기 위해 $\vert e_2 \rangle = \vert e_2' \rangle / \sqrt{\langle e_2' \vert e_2' \rangle}$ 로 둘 수 있습니다. 마찬가지 방법으로 $$\vert e_3' \rangle = \vert a_3 \rangle - \sum_{i=1}^{2}\vert e_i \rangle \langle e_i \vert a_3 \rangle$$ 이라 하면 이는 $|vert e_1 \rangle, \vert e_2 \rangle$ 과 orthogonal 하고, 이를 다시 normalize 하여 $\vert e_3 \rangle$ 을 만들 수 있습니다. 그러면 $m < N$ 인 $\vert e_1 \rangle, \cdots, \vert e_m \rangle$ 이 있을 때, $$\begin{align*}\vert e_{m+1}' &= \vert a_{m+1}\rangle - \sum_{i=1}^{m}\vert e_i \rangle \langle e_i \vert a_{m+1}\rangle \\ \vert e_{m+1}\rangle &= \dfrac{\vert e_{m+1}'\rangle}{\sqrt{\langle e_{m+1}'\vert e_{m+1}'\rangle}}\end{align*}$$ 처럼 잡는 것을 통해 basis 를 모두 orthonormal basis 로 바꿀 수 있습니다.

Theorem(Schwarz inequality)

벡터 $\vert a\rangle, \vert b \rangle \in \mathcal{V}$ 에 대해 $$\langle a \vert a \rangle \langle b \vert b \rangle \geq \vert \langle a \vert b \rangle\vert^2$$ 이 성립합니다. 등호는 두 벡터가 평행할 때 성립합니다.

Proof

$\vert c \rangle = \vert b \rangle - \left(\langle a \vert b \rangle / \langle a \vert a \rangle \right) \vert a \rangle$ 이라고 두면, $\langle a \vert c \rangle = 0$ 입니다. 이 때 $$\langle b \vert b \rangle = \left\vert \dfrac{\langle a \vert b \rangle}{\langle a \vert a \rangle}\right\vert^2 \langle a \vert a \rangle + \langle c \vert c \rangle = \dfrac{\vert \langle a \vert b \rangle \vert^2}{\langle a \vert a \rangle}+\langle c \vert c \rangle$$ 가 성립하므로, $$\langle b \vert b \rangle \geq \dfrac{\vert \langle a \vert b \rangle \vert^2}{\langle a \vert a\rangle} \Rightarrow \langle a \vert a \rangle \langle b \vert b \rangle \geq \vert \langle a \vert b \rangle \vert^2$$ 이 증명됩니다. 등호는 $\langle c \vert c \rangle = 0$ 일 때이므로, $\vert c \rangle = 0$ 이 되어야 합니다. 그러면 정의로부터 $\vert a\rangle $ 과 $\vert b \rangle$ 이 평행할 때임을 알 수 있습니다.

$\vert a \rangle$ 에 대해 벡터의 norm 은 $\left\| a\right\|$ 로 쓰고, $$\left\| a \right\| = \sqrt{\langle a \vert a \rangle}$$ 로 정의합니다. $\alpha \vert a \rangle + \beta \vert b \rangle$ 의 norm 을 $\left\| \alpha a + \beta b \right\|$ 처럼 쓰기도 합니다.

벡터의 norm 이 다음과 같은 성질을 가짐은 쉽게 보일 수 있습니다.

(1) $\left\| a \right\| \geq 0$ 이고 $\left\| a\right\| = 0 \Leftrightarrow \vert a \rangle = \vert 0 \rangle$

(2) 모든 $\alpha \in \mathbb{C}$ 에 대해 $\left\| \alpha a \right\| = \vert \alpha \vert \left\| a \right\|$ 

(3) $\left\| a + b \right\| \leq \left\| a \right\| + \left\| b\right\|$

여기서 (4) 는 삼각부등식이라고 불리는 그것입니다. 위의 성질을 만족시키는 모든 함수는 norm 이라 불릴 수 있고, norm 을 가지는 벡터 공간을 normed linear space 라고 부릅니다. 그리고 norm 은 꼭 inner product 로만 정의될 수 있지 않기 때문에, normed linear space 라고 해서 반드시 inner product space 가 되는 것은 아닙니다.

normed linear space 에서는 두 벡터 사이의 거리를 정의할 수 있으며, $\vert a\rangle$ 와 $\vert b\rangle$ 사이의 거리 $d(a, b)$ 는 단순히 $d(a, b) = \left\| a - b\right\|$ 로 정의됩니다.

Inner product space 이면 normed linear space 임은 자명합니다. 그런데 만약 norm 이 parallelogram law 를 만족한다면, $$\left\| a + b\right\|^2 + \left\| a -b \right\|^2 = 2\left\| a \right\|^2 + 2\left \| b \right\|^2$$ 내적을 $$\langle a \vert b \rangle = \dfrac{1}{4}\left\{\left\| a + b \right \|^2 - \left\| a - b \right\|^2 - i \left(\left\| a + ib \right\|^2 - \left\| a - ib \right\|^2\right)\right\}$$ 으로 정의하여, inner product space 를 만들 수 있습니다. 즉, 역이 성립하기 위해서는 추가적인 조건이 붙으면 됩니다.

Theorem

normed linear space 가 inner product space 인 것은 norm 이 parallelogram law 를 만족시키는 것과 동치이다.

Proof

parallelogram law 를 만족시킬 때 inner product space 가 됨은 위에서 내적을 직접 제시하여 보였으므로, 반대방향을 보이면 증명이 완성됩니다. $N$ 차원 벡터공간 $\mathcal{V}$ 와 그 basis $\{\vert a_i \rangle\}_{i=1}^{N}$ 에 대해 $$\vert a \rangle = \sum_{i=1}^N \alpha_i \vert a_i \rangle \quad \Rightarrow \quad \left \| a \right\|^2 = \sum_{i=1}^{N}\vert \alpha_i \vert^2$$ 처럼 norm 을 정의하면 norm 의 조건을 잘 만족시키고, parallelogram law 또한 만족시킴을 알 수 있습니다. 따라서 증명이 완성됩니다.

Proposition

모든 유한차원 벡터공간은 inner product space 로 만들 수 있다.

예를 들어 $\mathbb{C}^n$ 의 경우 $\vert a \rangle = \left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n \right)$ 에 대해 $$\left\| a \right\| = \sqrt{\langle a \vert a \rangle} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\vert \alpha_i \vert^2}$$ 처럼 잡을 수 있습니다. 그러면 $$d(a, b) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\vert \alpha_i - \beta_i \vert^2}$$ 이 됩니다. 만약 norm 을 다르게 잡으면, 특히 $\left\| a\right\|_1 = \sum_{i=1}^n \vert\alpha_i\vert$ 와 같이 잡으면 $$d_1 (a, b) = \left\| a - b\right\|_1 = \sum_{i=1}^{n}\vert \alpha_i - \beta_i \vert$$ 가 됩니다. 또 다른 norm 으로는 $$\left \| a \right\|_p = \left(\sum_{i=1}^{n}\vert \alpha_i\vert^p \right)^{1/p}$$ 가 있으며, 이 때 $p$ 는 양의 정수입니다. 그러면 $$d_p (a, b) = \left\| a - b\right\|_p  =\left(\sum_{i=1}^{n}\vert \alpha_i - \beta_i \vert^p \right)^{1/p}$$ 를 얻습니다.

두 벡터 $\vert a \rangle, \vert b \rangle$ 의 내적(inner product)이란 $\langle a \vert b \rangle\in\mathbb{C}$ 처럼 쓰고, 다음 조건을 만족합니다.

(1) $\langle a \vert b \rangle = \langle b \vert a \rangle^*$

(2) $\langle a \vert \left(\beta \vert b \rangle + \gamma \vert c \rangle\right) = \beta \langle a \vert b \rangle + \gamma \langle a \vert c \rangle$

(3) $\langle a \vert a \rangle\geq 0$ 이고, $\langle a \vert a \rangle = 0\Leftrightarrow \vert a \rangle = \vert 0 \rangle$

여기서 $^*$ 은 켤레복소수를 의미합니다. 즉 $\left(a+bi\right)^* = a - bi$ 입니다. 그리고 (3) 의 조건은 positive definite 조건이라고 불리기도 합니다.

그리고 (2) 의 선형성은 뒤쪽의 벡터에만 적용되는데, 이는 (1) 에서 내적의 교환관계가 성립하지 않기 때문에 앞쪽의 벡터에 선형성이 적용되면 모양이 달라지기 때문입니다. (1) 의 켤레복소수 연산때문에 내적은 복소벡터공간 위에서 쌍선형적(bilinear)이지 않습니다. (즉, 두 원소에 대해 모두 선형적이지 않습니다) 이는 일반적으로 반쌍선형(sesquilinear)이라고 불립니다.

그러나 이를 실벡터공간에서만 생각하면 (1) 의 켤레복소 연산은 신경쓸 필요 없기때문에, 실벡터공간의 내적은 bilinear 함이 보장됨을 알 수 있습니다. 

그리고 (2) 의 좌변을 좀 더 간단하게, $\langle a \vert \beta b + \gamma c\rangle$ 처럼 쓰기도 합니다. 그러면 $$\langle a \vert \beta b + \gamma c\rangle = \beta \langle a \vert b \rangle = \gamma \langle a \vert c \rangle$$ 이 되어, 뒤쪽 원소에 대해 선형적임을 좀 더 잘 볼 수 있습니다. 반대로, 앞의 원소에 대해서는 $$\langle \beta b + \gamma c \vert a \rangle = \beta^* \langle b \vert a \rangle + \gamma^* \langle c \vert a \rangle$$ 이 되므로 선형적이지 않음도 잘 볼 수 있습니다.

어떤 벡터공간 $\mathcal{V}$ 와 그 위에서 정의된 내적을 통틀어서 내적공간(inner product space)이라 부릅니다. 그리고 이후에 살펴보겠지만 유한차원 벡터공간에 대해서는 항상 내적이 존재하므로, 임의의 유한차원 벡터공간을 내적공간으로 바꿀 수 있습니다.

예를 들어, $\vert a \rangle, \vert b\rangle \in \mathbb{C}^n$ 에 대해 $$\langle a \vert b \rangle = \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}^{*}\beta_i$$ 처럼 정의하면, 이는 내적의 조건 세가지를 모두 만족함이 쉽게 보여집니다. 그리고 이 내적을 natural innter product for $\mathbb{C}^n$ 이라 부릅니다. $x(t), y(t) \in \mathcal{P}^c[t]$ 에 대해, $$\langle x \vert y \rangle = \int_{a}^{b}w(t)x^*(t) y(t) dt$$ 처럼 정의하면, 이는 내적의 조건을 만족합니다. 단, weight function 이라 불리는 $w(t)$ 가 $(a, b)$ 에서 항상 양수라는 조건 하에서만 성립합니다.

그리고 $f, g \in \mathbb{C}(a, b)$ 에 대해 $$\langle f \vert g \rangle = \int_{a}^{b}w(x) f^* (x)g(x) dx$$ 처럼 정의하면, 마찬가지로 weight function $w(x)$ 가 $(a, b)$ 에서 항상 양수일 때 내적이 됩니다. 이를 standard inner product on $\mathbb{C}(a, b)$ 라 부릅니다.

만약 $\vert a \rangle, \vert b \rangle \in \mathcal{V}$ 가 $\langle a \vert b \rangle = 0$ 을 만족한다면, 두 벡터가 orthogonal 하다고 합니다. 그리고 $\langle e \vert e \rangle = 1$ 인 벡터 $\vert e \rangle$ 을 normal vector 라고 부르고 $\mathcal{B}  = \{\vert e_i \rangle\}_{i=1}^{N}$ 이 아래 조건을 만족하면 $N$ 차원 벡터공간 $\mathcal{V}$ 의 orthonormal basis 라 합니다. $$\langle e_i \vert e_j \rangle = \delta_{ij} = \begin{cases}1 & \text{ if }i = j \\ 0 & \text{ if } i \neq j\end{cases}$$ 여기서 $\delta_{ij}$ 를 크로네커 델타(Kronecker delta)라 부릅니다.

예를 들어, 내적공간 $\mathcal{U}$ 와 $\mathcal{V}$, 그리고 $\mathcal{W} = \mathcal{U}\oplus \mathcal{V}$ 에 대해 $\vert w_i \rangle = \left(\vert u_i \rangle, \vert v_i \rangle\right)$ 라 둘 수 있고, $$\langle w_1 \vert w_2\rangle = \langle u_1 \vert u_2 \rangle + \langle v_1 \vert v_2 \rangle$$ 이 $\mathcal{W}$ 에서 내적의 성질을 만족함을 쉽게 보일 수 있습니다. 그리고 $$\mathcal{U} = \left\{\left( \vert u \rangle , \vert 0 \rangle _V \right) \vert \vert u \rangle \in \mathcal{U}\right\} \quad \text{ and }\quad \mathcal{V} = \left\{\left(\vert 0\rangle_U , \vert v \rangle \right) \vert \vert v \rangle \in \mathcal{V}\right\}$$ 에 대해 $\mathcal{U}$ 의 벡터와 $\mathcal{V}$ 의 벡터는 항상 orthogonal 합니다.

어떤 상황에서는 벡터 공간을 독립적인 두 개의 subspace 로 분리하는 것이 상황 분석에 더 유일합니다. 예를 들어, $\mathbb{R}^3$ 에서 물체의 운동을 분석할 때는 각각의 축 방향으로 분리하여 생각하는 것이 더 유리합니다. 이를 일반적인 벡터 공간 $\mathcal{V}$ 에서도 생각할 수 있는데, $\mathcal{U}, \mathcal{W}$ 가 $\mathcal{V}$ 의 subspace라면 $\mathcal{U}+\mathcal{W}$ 는 $\mathcal{U}, \mathcal{V}$ 에서 각각 한 개의 벡터를 골라 더해서 얻을 수 있는 벡터의 집합이고, 이는 $\mathcal{V}$ 의 subspace가 됩니다.

예를 들어, $\mathcal{V} = \mathbb{R}^3$ 이라 두고, $\mathcal{U}$ 를 $xy$ 평면, $\mathcal{W}$ 를 $yz$ 평면이라 하면 둘 모두 $\mathbb{R}^3$ 의 subspade임은 자명합니다. 또, $\mathcal{U} + \mathcal{W} = \mathbb{R}^3$ 이 됨은 다음처럼 보일 수 있습니다. $$(x, y, z) = \left(x, \dfrac{1}{2}y, 0\right) + \left(0, \dfrac{1}{2}y, z\right)$$ 물론 두 개의 합으로 분해하는 방법이 유일하지 않으며, 유일할 필요도 없습니다.

만약 $\mathcal{U}, \mathcal{W}$ 가 벡터공간 $\mathcal{V}$ 의 subspace 이고, $\mathcal{V}=\mathcal{U} + \mathcal{W}$ 이면서 $\mathcal{U}\cap\mathcal{W} = \{\vert 0 \rangle\}$ 이면, $\mathcal{V}$ 는 $\mathcal{U}$ 와 $\mathcal{W}$ 의 direct sum 이라 말하고, $\mathcal{V} =\mathcal{U}\oplus \mathcal{W}$ 라 씁니다.

Theorem

$\mathcal{V} = \mathcal{U} + \mathcal{W}$ 일 때, $\mathcal{V} = \mathcal{U}\oplus \mathcal{W}$ 인 것은 $\mathcal{V}$ 의 영벡터가 아닌 벡터가 $\mathcal{U}$ 의 벡터와 $\mathcal{W}$ 의 벡터의 합으로 유일하게 표현되는 것과 동치입니다.

Proof

$\mathcal{V} = \mathcal{U}\oplus\mathcal{W}$ 라 가정하겠습니다. 이 때 $\vert v \rangle \in \mathcal{V}$ 을 $\mathcal{U}$ 와 $\mathcal{W}$ 의 원소의 합으로 표현할 수 있는 방법이 두 가지 있다면, $$\vert v \rangle = \vert u \rangle + \vert w \rangle = \vert u' \rangle + \vert w' \rangle \quad \Leftrightarrow \quad \vert u \rangle - \vert u' \rangle = \vert w' \rangle - \vert w \rangle$$ 가 됩니다. 그런데 우측 식의 좌변은 $\mathcal{U}$ 의 원소이고, 우변은 $\mathcal{W}$ 의 원소입니다. 그러므로 direct sum의 정의에 의해 $\vert u \rangle - \vert u' \rangle = \vert 0 \rangle = \vert w' \rangle - \vert w \rangle$ 가 되어 합으로 표현하는 방법은 유일합니다.

영벡터가 아닌 원소를 $\mathcal{U}, \mathcal{V}$ 의 원소의 합으로 표현하는 방법이 유일하다고 가정하겠습니다. 이 때 어떤 $\vert a \rangle$ 가 $\mathcal{U}\cap \mathcal{W}$ 의 원소라면 $$\vert a \rangle = \dfrac{1}{3}\vert a \rangle + \dfrac{2}{3}\vert a \rangle = \dfrac{1}{4}\vert a \rangle + \dfrac{3}{4}\vert a \rangle$$ 가 되어 합으로 표현하는 방법이 두 가지 이상 존재하므로, $\vert a \rangle = 0$ 가 되어야 합니다. 따라서 $\mathcal{V} = \mathcal{U}\oplus\mathcal{W}$ 입니다.

이를 일반화하여, $\{\mathcal{U}_i\}_{i=1}^{r}$ 가 $\mathcal{V}$ 의 subspace 이고 $$\mathcal{V} = \sum_{i=1}^{r}\mathcal{U}_i\quad\text{ and }\quad \mathcal{U}_i \cap \mathcal{U}_j = \{\vert 0 \rangle\}\; \text{ for all } i, j = 1, 2, \cdots, r,\; i\neq j$$ 가 성립하면, $\mathcal{V}$ 가 $\{\mathcal{U}_i\}_{i=1}^{r}$ 의 direct sum 이라고 하고, $$\mathcal{V} = \bigoplus_{i=1}^{r}\mathcal{U}_i$$ 처럼 씁니다.

만약 $\mathcal{W} = \bigoplus_{i=1}^{s}\mathcal{U}_i$ 라면, $\mathcal{W}' = \bigoplus_{i=2}^{s}$ 에 대해 $\mathcal{W} = \mathcal{U}_1 \oplus \mathcal{W}'$ 이 성립합니다. 그러면 $\vert u_i \rangle\in \mathcal{U}_i$ 에 대해 $$\sum_{i=1}^{s}\alpha_i \vert u_i \rangle = \vert 0 \rangle\quad\Leftrightarrow\quad \alpha_1 \vert u_1 \rangle = -\sum_{i=2}^{n}\alpha_i \vert u_i \rangle\in \mathcal{W}'$$ 이 되어 $\alpha_1 = 0$ 을 얻고, 그러면 $$\sum_{i=2}^{s}\alpha_i \vert u_i \rangle = 0$$ 으로 바뀝니다. 이와 같은 과정을 반복하면 $\alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_s = 0$ 이 되고, 따라서 다음을 얻습니다.

Proposition

서로 다른 $\mathcal{U}_i$ 의 원소끼리는 linearly independent 합니다.

Proposition

$\mathcal{U}$ 가 $\mathcal{V}$ 의 subspace 이면, 어떤 $\mathcal{V}$ 의 subspace $\mathcal{W}$ 가 존재하여 $\mathcal{V} = \mathcal{U} \oplus\mathcal{W}$ 입니다.

Proof

$\{\vert u_i \rangle\}_{i=1}^{m}$ 가 $\mathcal{U}$ 의 basis 라 하면, 이를 확장해서 $\{\vert u_i \rangle\}_{i=1}^{N}$ 이 $\mathcal{V}$ 의 basis 가 되도록 할 수 있고, 그러면 $\mathcal{W} = \text{span}\{\vert u_j \rangle\}_{j=m+1}^{N}$ 으로 잡으면 됩니다.

Proposition

$\mathcal{V} =\mathcal{U}\oplus\mathcal{W}$ 이면 $\dim \mathcal{V} = \dim \mathcal{U} + \dim\mathcal{W}$ 입니다.

Proof

$\{\vert u_i \rangle\}_{i=1}^{m}$ 를 $\mathcal{U}$ 의 basis 라 하고, $\{\vert w_i \rangle\}_{i=1}^{k}$ 를 $\mathcal{W}$ 의 basis 라 하면, 간단한 계산을 통해 $$\{\vert u_1 \rangle, \vert u_2 \rangle, \cdots, \vert u_m \rangle, \vert w_1 \rangle, \vert w_2 \rangle, \cdots, \vert w_k \rangle\}$$ 가 $\mathcal{V}$ 의 basis 임을 확인할 수 있습니다.

$\mathcal{U}, \mathcal{V}$ 가 벡터공간이라고 하고, $\mathcal{W} = \mathcal{U}\times\mathcal{V}$ 라 할 때, $\mathcal{W}$ 에서 스칼라 곱과 합을 다음처럼 정의하겠습니다. $$\begin{align*}\alpha \left(\vert u \rangle, \vert v \rangle\right) &= \left(\alpha\vert u \rangle, \alpha\vert v \rangle\right) \\ \left(\vert u_1 \rangle , \vert v_1 \rangle\right) + \left(\vert u_2 \rangle, \vert v_2 \rangle\right) &= \left(\vert u_1 \rangle + \vert u_2 \rangle, \vert v_1 \rangle + \vert v_2 \rangle\right)\end{align*}$$ 여기서 $\vert 0 \rangle_W = \left( \vert 0 \rangle_U, \vert 0 \rangle_V\right)$ 라 하면, $\mathcal{W}$ 는 벡터공간이 됩니다. 그리고 $\mathcal{U}$ 와 $\mathcal{V}$ 의 벡터를 $\left(\vert u \rangle, \vert 0 \rangle_V \right), \left(\vert 0 \rangle_U, \vert v \rangle\right)$ 와 같은 꼴로 쓰면 $\mathcal{U}, \mathcal{V}$ 는 $\mathcal{W}$ 의 subspace 가 됩니다. 그러면 아래의 proposition 은 자명합니다

Proposition

위의 논의에서 정의된 $\mathcal{U}, \mathcal{V}, \mathcal{V}$ 에 대해, $\mathcal{W} = \mathcal{U} \oplus\mathcal{V}$ 입니다.

이제 $\{\vert a_i \rangle\}_{i=1}^{M}$ 를 $\mathcal{U}$ 의 basis 라 하고, $\{\vert b_j \rangle\}_{j=1}^{N}$ 를 $\mathcal{V}$ 의 basis 라 하겠습니다. 여기서 $\{\vert c_k \rangle\}_{k=1}^{M+N} \in \mathcal{W} = \mathcal{U}\oplus\mathcal{V}$ 를 다음처럼 정의하겠습니다. $$\begin{align*}\vert c_k \rangle &= \left( \vert a_k \rangle, \vert 0 \rangle_V\right) && \text{ if } 1 \leq k \leq M \\ \vert c_k \rangle &= \left(\vert 0 \rangle_{U}, \vert b_{k-M} \rangle \right) \quad && \text{ if } M +1 \leq k \leq M+N\end{align*}$$ 그러면 $$\sum_{k=1}^{M+N}\gamma_k \vert c_k \rangle = \vert 0 \rangle_W \qquad\Leftrightarrow \\ \sum_{k=1}^{M}\gamma_k \left(\vert a_k \rangle, \vert 0 \rangle_V\right) + \sum_{j=1}^{N}\gamma_{M+j}\left(\vert 0 \rangle_U, \vert b_j \rangle\right) = \left(\vert 0 \rangle_U, \vert 0 \rangle_V\right)\qquad\Leftrightarrow \\ \left(\sum_{k=1}^{M}\gamma_k \vert a_k \rangle, \vert 0 \rangle_V\right)+\left(\vert 0 \rangle_U, \sum_{j=1}^{M}\gamma_{M+j}\vert b_j \rangle\right) = \left(\vert 0 \rangle_U, \vert 0 \rangle_V\right)\qquad\Leftrightarrow \\ \left(\sum_{k=1}^{M}\gamma_k \vert a_k \rangle,\sum_{j=1}^{M}\gamma_{M+j}\vert b_j \rangle\right) = \left(\vert 0 \rangle_U, \vert 0 \rangle_V\right) \qquad \Leftrightarrow\\ \sum_{k=1}^{M}\gamma_k \vert a_k \rangle = \vert 0 \rangle_{U} \quad\text{ and }\quad \sum_{j=1}^{M}\gamma_{M+j}\vert b_j \rangle = \vert 0 \rangle_{V}$$ 가 되므로, $\{\vert c_k \rangle\}_{k=1}^{M+N}$ 은 linearly independent 합니다. 그리고 $\mathcal{W} = \text{span} \{\vert c_k \rangle\}_{k=1}^{M+N}$ 이 됨은 어렵지 않게 보일 수 있습니다. 그러면 다음 정리를 얻습니다.

Theorem

$\{\vert a_i \rangle\}_{i=1}^{M}$ 가 $\mathcal{U}$ 의 basis 이고 $\{\vert b_j \rangle\}_{j=1}^{N}$ 가 $\mathcal{V}$ 의 basis 이면$$\begin{align*}\vert c_k \rangle &= \left( \vert a_k \rangle, \vert 0 \rangle_V\right) && \text{ if } 1 \leq k \leq M \\ \vert c_k \rangle &= \left(\vert 0 \rangle_{U}, \vert b_{k-M} \rangle \right) \quad && \text{ if } M +1 \leq k \leq M+N\end{align*}$$ 처럼 정의된 $\{\vert c_k \rangle\}_{k=1}^{M+N}$ 은 $\mathcal{W} = \mathcal{U}\oplus\mathcal{V}$ 의 basis 입니다. 그리고 또한 $\dim\mathcal{W} = M+N$ 입니다.

벡터 공간 $\mathcal{U}, \mathcal{V}$ 의 Cartesian product 에 다음과 같은 스칼라 곱과 쌍선형(bilinear)조건을 주겠습니다.(두 원소에 대해 각각 선형적이라는 의미입니다.) $$\begin{align*}\alpha\left(\vert u \rangle, \vert v \rangle\right) &= \left(\alpha \vert u \rangle, \vert v \rangle\right) = \left(\vert u \rangle, \alpha\vert v \rangle\right) \\ \left(\alpha_1\vert u_1 \rangle + \alpha_2 \vert u_2 \rangle, \vert v \rangle\right) &= \alpha_1 \left(\vert u_1 \rangle, \vert v \rangle\right) + \alpha_2 \left(\vert u_2 \rangle, \vert v \rangle\right) \\ \left(\vert u \rangle, \beta_1 \vert v_1 \rangle + \beta_2 \vert v_2 \rangle\right) &= \beta_1 \left(\vert u \rangle, \vert v_1 \rangle\right) + \beta_2 \left(\vert u \rangle, \vert v_2\rangle\right)\end{align*}$$ 이런 성질은 $\mathcal{U}\times\mathcal{V}$ 를 tensor product 라 불리는 공간으로 만듭니다. 그리고 이는 $\mathcal{U}\otimes \mathcal{V}$ 로 쓰고, tensor product space 의 원소는 $\vert u\rangle \otimes \vert v \rangle$ (가끔 $\vert uv\rangle$ 처럼 쓰기도 합니다) 처럼 쓰여집니다. 여기서 $\{\vert a_i \rangle\}_{i=1}^{M}$ 과 $\{\vert b_j \rangle\}_{j=1}^{N}$ 이 각각 $\mathcal{U}, \mathcal{V}$ 의 basis 라면 $$\vert u \rangle = \sum_{i=1}^{M}\alpha_i \vert a_i \rangle \quad \text{ and }\quad \vert v \rangle = \sum_{j=1}^{N}\beta_j \vert b_j \rangle$$ 처럼 쓸 수 있고, 그러면 $$\vert u \rangle \otimes \vert v \rangle = \left(\sum_{i=1}^{M}\alpha_i \vert a_i \rangle\right) \otimes \left(\sum_{j=1}^{N}\beta_j \vert b_j \rangle\right) = \sum_{i=1}^{M}\sum_{j=1}^{N}\alpha_i \beta_j \vert a_i \rangle \otimes \vert b_j \rangle$$ 이 됩니다. 따라서 $\{\vert a_i \rangle \otimes \vert b_j \rangle\}$ 이 $\mathcal{U}\otimes\mathcal{V}$ 의 basis 가 되며 $\dim \left( \mathcal{U}\otimes \mathcal{V}\right) = \dim \mathcal{U} \dim \mathcal{V}$ 가 성립합니다. 그리고 $$\vert 0 \rangle_U \otimes \vert v \rangle = \left( \vert u \rangle - \vert u \rangle \right) \otimes \vert v \rangle = \vert u \rangle \otimes \vert v \rangle - \vert u \rangle \otimes \vert v \rangle = \vert 0 \rangle_{U\otimes V}$$ 입니다. 마찬가지로, $\vert u \rangle \otimes \vert 0 \rangle_V = \vert 0 \rangle_{U\otimes V}$ 입니다.