Multilinear Map

$\mathcal{V}, \mathcal{U}$ 가 벡터공간이고 $\mathcal{V}^p$ 가 $\mathcal{V}$ 의 Cartesian product 라 하겠습니다. 그러면 p-linear map $\theta : \mathcal{V}^p \to \mathcal{U}$ 는 $$\theta \left(\vert a_1 \rangle, \cdots, \alpha \vert a_j \rangle + \beta \vert b_j \rangle, \cdots, \vert a_p \rangle \right) \\ = \alpha \theta \left(\vert a_1 \rangle, \cdots, \vert a_j \rangle, \cdots, \vert a_p \rangle \right) + \beta \theta \left(\vert a_1 \rangle, \cdots, \vert b_j , \cdots, \vert a_p \rangle \right)$$ 를 만족합니다. 그리고 $\mathcal{V}$ 에서 $\mathbb{C}$ 또는 $\mathbb{R}$ 로 가는 p-linear map 을 p-linear function 이라 합니다.

 

$\sigma$ 를 $1, 2, \cdots, p$ 의 permutation 이라 할 때 만약 $\mathcal{V}$ 에서 $\mathcal{U}$ 로 가는 p-linear map $\omega$ 가 $$\omega\left(\vert a_{\sigma(1)}\rangle, \cdots, \vert a_{\sigma(p)}\rangle \right) = \epsilon_{\sigma}\omega \left(\vert a_1 \rangle, \cdots, \vert a_p \rangle\right)$$ 을 만족한다면, $\omega$ 를 skew-symmetric 이라고 합니다. 여기서 $\epsilon_{\sigma}$ 는 $\sigma$ 가 even 이면 $+1$, odd 이면 $-1$ 의 값을 갖는 변수입니다. $\mathcal{V}$ 에서 $\mathcal{U}$ 로 가는 p-linear skew-symmetric funciton 의 집합을 $\Lambda^p \left(\mathcal{V}, \mathcal{U}\right)$ 처럼 씁니다.

 

임의의 p-linear mpa $\theta$ 에 대해, $$\omega = \sum_{\pi}\epsilon_{\pi}\cdot\pi\theta$$ 처럼 정의하면, $$\begin{align*}\sigma\omega &= \sigma\sum_{\pi}\epsilon_{\pi}\cdot \pi\theta = \sum_{\pi}\epsilon_{\pi}\cdot \left(\sigma\pi\right) \theta = \left(\epsilon_{\sigma}\right)^2 \sum_{\pi}\epsilon_{\pi}\epsilon_{\pi}\cdot \left(\sigma\pi\right)\theta \\ &= \epsilon_{\sigma}\sum_{\pi}\left(\epsilon_{\sigma}\epsilon_{\pi}\right) \cdot \left(\sigma \pi\right)\theta = \epsilon_{\sigma}\sum_{\sigma\pi}\epsilon_{\sigma\pi}\cdot \left(\sigma\pi\right)\theta = \epsilon_{\sigma}\cdot \omega\end{align*}$$ 가 되어 $\omega$ 는 skew-symmetric 합니다.

 

Theorem

$\omega \in \Lambda^{p}\left(\mathcal{V}, \mathcal{U}\right)$ 에 대해 다음이 동치입니다.

 

(1) $i\neq j$ 에 대해 $\vert a_i \rangle =\vert a_j \rangle$ 이면 $\omega\left(\vert a_1 \rangle, \cdots, \vert a_p\rangle \right) = 0$

(2) 임의의 permutation $\sigma$ 와 $\vert a_1 \rangle, \cdots, \vert a_p \rangle \in \mathcal{V}$ 에 대해 $\omega \left(\vert a_{\sigma(1)}\rangle, \cdots, \vert a_{\sigma(p)}\rangle \right) = \epsilon_{\sigma}\omega\left(\vert a_1 \rangle, \cdots, \vert a_p \rangle \right)$

(3) $\{\vert a_k \rangle\}_{k=1}^{p}$ 가 linearly dependent 하면 $\omega \left(\vert a_1 \rangle, \cdots, \vert a_p \rangle \right) = 0$

 

Proposition

$\dim \mathcal{V} = N$ 과 $\omega \in \Lambda^{N}\left(\mathcal{V}, \mathcal{U}\right)$ 에 대해, $\mathcal{V}$ 의 basis 에 대한 $\omega$ 의 함숫값으로 $\omega$ 를 유일하게 결정할 수 있습니다.

 

Proof

$\{\vert e_k \rangle \}_{k=1}^{N}$ 이 $\mathcal{V}$ 의 basis 이고 $\{\vert a_j \rangle\}_{j=1}^N$ 이 $\mathcal{V}$ 의 원소인 임의의 $N$ 개 벡터이고 $\vert a_j \rangle = \sum_{k=1}^{N} \alpha_{jk}\vert e_k \rangle$ 로 쓸 수 있다면 $$\begin{align*}\omega\left(\vert a_1 \rangle, \cdots, \vert a_N \rangle \right) &= \sum_{k_1, \cdots, k_N = 1}^{N}\alpha_{1k_1}\cdots \alpha_{Nk_N}\omega\left(\vert e_{k_1}\rangle, \cdots, \vert e_{k_N}\rangle \right) \\ &= \sum_{\pi}\alpha_{1\pi(1)}\cdots \alpha_{N\pi(N)}\omega\left(\vert e_{\pi(1)}\rangle, \cdots, \vert e_{\pi(N)}\rangle \right) \\ &= \left(\sum_{\pi}\epsilon_{\pi}\alpha_{1\pi(1)}\cdots\alpha_{N\pi (N)}\right) \omega\left(\vert e_1 \rangle, \cdots, \vert e_N\rangle \right)\end{align*}$$ 가 되어, basis 에 대한 $\omega$ 의 값으로 유일하게 결정됩니다.

 

$\mathcal{V}$ 에 대한 skew symmetric N-linear function 을 determinant function 이라고 부릅니다.

 

$\mathcal{B} = \{\vert e_k\rangle \}_{k=1}^{N}$ 이 $\mathcal{V}$ 의 basis 이고 $\mathcal{B}^* = \{ \epsilon_j\}_{j=1}^{N}$ 이 $\mathcal{B}$ 의 dual 인 $\mathcal{V}^*$ 의 basis 라 하겠습니다. $\mathcal{V}$ 안의 $N$ 개 벡터 집합 $\{\vert a_k \rangle\}_{k=1}^{N}$ 에 대해 N-linear function 을 $$\theta\left(\vert a_1 \rangle, \cdots, \vert a_N\rangle \right) = \epsilon_1 \left(\vert a_1 \rangle \right) \cdots \epsilon_N \left \vert a_N\rangle \right)$$ 라 두겠습니다. 이 때 $\Delta = \sum_{\pi}\epsilon_{\pi}\cdot \pi\theta$ 라 정의했을 때 $\Delta \in \Lambda^N \left(\mathcal{V}\right)$ 임은 자명하므로 determinant function 이고, $$\Delta \left(\vert e_1 \rangle, \cdots, \vert e_N \rangle\right) = \sum_{\pi}\epsilon_{\pi}\cdot \pi\theta\left(\vert e_1 \rangle, \cdots, \vert e_N \rangle \right) = \sum_{\pi}\epsilon_{\pi}\delta_{\eta\pi}=\epsilon_{\eta}=1$$ 이 되므로, 임의의 유한차원 벡터공간에 대해 항등적으로 0이 아닌 determinant function 이 존재함을 알 수 있습니다.

 

Proposition

$\omega \in \Lambda^N \left(\mathcal{V}, \mathcal{U}\right)$ 에 대해, $\Delta$ 가 항등적으로 0 이 아닌  $\mathcal{V}$ 의 determinant function 이라고 하겠습니다. 그러면 $\omega$ 는 다음 조건을 만족하는 유일한 $\vert u_{\Delta}\rangle \in\mathcal{U}$ 를 결정합니다. $$\omega \left(\vert v_1\rangle, \cdots, \vert u_N \rangle \right) = \Delta \left(\vert v_1 \rangle, \cdots, \vert v_N \rangle \right)\cdot \vert u_{\Delta}\rangle$$

 

Proof

$\{\vert v_k \rangle\}_{k=1}^{N}$ 이 $\mathcal{V}$ 의 basis 이고 $\Delta \left(\vert v_1 \rangle, \cdots, \vert v_N \rangle \right) \neq 0$ 이라 하겠습니다. 그러면 벡터의 크기를 조절하여 $\Delta \left(\vert v_1 \rangle, \cdots, \vert v_N \rangle \right) = 1$ 이 되도록 할 수 있습니다. 그 때 $\omega \left(\vert v_1\rangle, \cdots, \vert v_N\rangle \right) = \vert u_{\Delta }\rangle$ 이라 하면 $\omega - \Delta \cdot \vert u_{\Delta }\rangle $ 는 $\{\vert u_k \rangle\}_{k=1}^{N}$ 에 대해 사라지므로, basis 에 대해 $0$ 이 되어 항등적으로 $0$ 이 되고 증명이 완성됩니다.