Dimension theorem

Linear transformation 의 정의에서 $\mathcal{V}$ 의 영벡터는 $\mathcal{W}$ 의 영벡터에 대응됨을 알 수 있습니다. 다른 벡터가 어떻게 행동하는지는 다음 정리를 통해 알 수 있습니다.

 

Theorem

$\mathcal{V}$ 의 원소 중 $\textbf{T} : \mathcal{V} \to \mathcal{W}$ 에 의해 $\mathcal{W}$ 의 영벡터로 대응되는 것의 집합을 $\text{ker}\text{T}$ 라 하면, 이는 $\mathcal{V}$ 의 subspace 입니다. $\text{ker}\textbf{T}$ 는 kernel 혹은 null space 라고 부릅니다.

 

Proof

subspace 의 정의에 대입하면 어렵지 않게 보일 수 있습니다.

 

이 때 $\text{ker}\textbf{T}$ 의 dimension 을 nullity 라 부르기도 합니다.

 

Theorem

Linear transformation $\textbf{T} : \mathcal{V} \to \mathcal{W}$ 에 대해, range $\textbf{T}\left(\mathcal{V}\right)$ 는 $\mathcal{W}$ 의 subspace 가 됩니다. $\textbf{T}\left(\mathcal{V}\right)$ 의 dimension 은 $\textbf{T}$ 의 rank 라 불립니다.

 

Proof

subspace 의 정의에 대입하면 어렵지 않게 보일 수 있습니다.

 

Theorem

Linear transformation 이 injective 함과 그 kernel 이 $\{0\}$ 임은 동치입니다.

 

Proof

injective 할 때 kernel 이 $\{0\}$ 임은 정의에 의해 자명합니다. 역방향을 보이려면 $$\textbf{T}\vert a_1 \rangle = \textbf{T} \vert a_2 \rangle \quad \Leftrightarrow \quad \textbf{T}\left(\vert a_1 \rangle - \vert a_2 \rangle\right) = 0$$ 이므로, $\text{ker}\textbf{T} = 0$ 에 의해 $\vert a_1 \rangle = \vert a_2 \rangle$ 이 되어 증명이 완성됩니다.

 

Theorem

linear isometric transformation 은 injective 합니다.

 

Proof

$\textbf{T} : \textbf{T} \to \textbf{U}$ 가 linear isometry 라면, $\vert a \rangle \in \text{ker}\textbf{T}$ 에 대해 $$\langle a \vert a \rangle = \langle \textbf{T}a \vert \textbf{T}a \rangle = \langle 0 \vert 0 \rangle = 0$$ 이 되므로 $\vert a \rangle = \vert 0 \rangle$ 이 되고, 그러므로 $\textbf{T}$ 는 injective 합니다.

 

$\text{ker}\textbf{T}$ 의 basis 를 $\mathcal{B}' = \{\vert a_1 \rangle, \vert a_2 \rangle, \cdots, \vert a_n \rangle \}$ 라 두면, 적절히 벡터를 추가하여 이를 $\mathcal{V}$ 의 basis $\mathcal{B} = \{\vert a_1 \rangle, \vert a_2 \rangle, \cdots, \vert a_N \rangle \}$ 으로 만들 수 있습니다. 그러면 $N = \dim \mathcal{V}$ 이고 $n = \dim \text{ker} \textbf{T}$ 가 되고, $\textbf{T}\left(\mathcal{V}\right)$ 의 basis 가 $\{\textbf{T} \vert a_{n+1}\rangle, \cdots, \textbf{T}\vert a_N \rangle\}$ 이 됨은 쉽게 보일 수 있습니다. 그를 통해 다음 결과를 얻습니다.

 

Theorem(dimension theorem)

$\textbf{T} : \mathcal{V} \to \mathcal{W}$ 에 대해 $$\dim \mathcal{V} = \dim \text{ker} \textbf{T} + \dim \textbf{T}\left(\mathcal{V}\right)$$ 가 성립합니다.

 

Proposition

유한차원 벡터공간의 endomorphism 이 injective 하거나 surjective 하면 bijective 합니다.

 

예시를 하나 보면서 글을 마치도록 하겠습니다.

 

$\textbf{T} : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ 을 $$\textbf{T}(x_1, x_2, x_3, x_4) \\ = (2x_1 + x_2 + x_3 - x_4, x_1 + x_2 + 2x_3 +2x_4, x_1 - x_3 - 3x_4)$$ 처럼 정의하겠습니다. 이에 대해 $\textbf{T}(x_1, x_2, x_3, x_4) = (0, 0, 0)$ 인 $\textbf{T}$ 의 kernel 을 찾으면, $$\begin{align*}2x_1 + x_2 + x_3 - x_4 &= 0 \\ x_1 + x_2 + 2x_3 + 2x_4 &= 0 \\ x_1 - x_3 - 3x_4 &= 0\end{align*}$$ 을 풀어서 $x_1 = x_3 + 3x_4$ 와 $x_2 = -3x_3 - 5x_4$ 를 얻을 수 있습니다. 그러면 $\text{ker}\textbf{T}$ 는 $$(x_3 + 3x_4, - 3x_3 - 5x_4, x_3, x_4) = x_3 (1, -3, 1, 0) + x_4 (3, -5, 0, 1)$$ 이 되므로, $\dim \text{ker}\textbf{T} =2$ 입니다. [$(1, -3, 1, 0), (3, -5, 0, 1)$ 의 선형결합입니다.] 그리고 $\textbf{T}$ 의 range 는 $$\textbf{T}(x_1, x_2, x_3, x_4) \\ = (2x_1 + x_2 + x_3 - x_4)(1, 0, 1) + (x_1 + x_2 + 2x_3 + 2x_4)(0, 1, -1)$$ 이므로 $\text{rank}\textbf{T} = 2$ 입니다. [$(1, 0, 1), (0, 1, -1)$ 의 선형결합입니다.] 그리고 정의역의 차원은 $4$ 이므로 $$\dim \mathcal{V} = 4 = 2+ 2= \dim \text{ker} \textbf{T} + \dim \textbf{T}\left(\mathcal{V}\right)$$ 가 성립함을 알 수 있습니다.