Inner Product

두 벡터 $\vert a \rangle, \vert b \rangle$ 의 내적(inner product)이란 $\langle a \vert b \rangle\in\mathbb{C}$ 처럼 쓰고, 다음 조건을 만족합니다.

 

(1) $\langle a \vert b \rangle = \langle b \vert a \rangle^*$

(2) $\langle a \vert \left(\beta \vert b \rangle + \gamma \vert c \rangle\right) = \beta \langle a \vert b \rangle + \gamma \langle a \vert c \rangle$

(3) $\langle a \vert a \rangle\geq 0$ 이고, $\langle a \vert a \rangle = 0\Leftrightarrow \vert a \rangle = \vert 0 \rangle$

 

여기서 $^*$ 은 켤레복소수를 의미합니다. 즉 $\left(a+bi\right)^* = a - bi$ 입니다. 그리고 (3) 의 조건은 positive definite 조건이라고 불리기도 합니다.

 

그리고 (2) 의 선형성은 뒤쪽의 벡터에만 적용되는데, 이는 (1) 에서 내적의 교환관계가 성립하지 않기 때문에 앞쪽의 벡터에 선형성이 적용되면 모양이 달라지기 때문입니다. (1) 의 켤레복소수 연산때문에 내적은 복소벡터공간 위에서 쌍선형적(bilinear)이지 않습니다. (즉, 두 원소에 대해 모두 선형적이지 않습니다) 이는 일반적으로 반쌍선형(sesquilinear)이라고 불립니다.

 

그러나 이를 실벡터공간에서만 생각하면 (1) 의 켤레복소 연산은 신경쓸 필요 없기때문에, 실벡터공간의 내적은 bilinear 함이 보장됨을 알 수 있습니다. 

 

그리고 (2) 의 좌변을 좀 더 간단하게, $\langle a \vert \beta b + \gamma c\rangle$ 처럼 쓰기도 합니다. 그러면 $$\langle a \vert \beta b + \gamma c\rangle = \beta \langle a \vert b \rangle = \gamma \langle a \vert c \rangle$$ 이 되어, 뒤쪽 원소에 대해 선형적임을 좀 더 잘 볼 수 있습니다. 반대로, 앞의 원소에 대해서는 $$\langle \beta b + \gamma c \vert a \rangle = \beta^* \langle b \vert a \rangle + \gamma^* \langle c \vert a \rangle$$ 이 되므로 선형적이지 않음도 잘 볼 수 있습니다.

 

어떤 벡터공간 $\mathcal{V}$ 와 그 위에서 정의된 내적을 통틀어서 내적공간(inner product space)이라 부릅니다. 그리고 이후에 살펴보겠지만 유한차원 벡터공간에 대해서는 항상 내적이 존재하므로, 임의의 유한차원 벡터공간을 내적공간으로 바꿀 수 있습니다.

 

예를 들어, $\vert a \rangle, \vert b\rangle \in \mathbb{C}^n$ 에 대해 $$\langle a \vert b \rangle = \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}^{*}\beta_i$$ 처럼 정의하면, 이는 내적의 조건 세가지를 모두 만족함이 쉽게 보여집니다. 그리고 이 내적을 natural innter product for $\mathbb{C}^n$ 이라 부릅니다. $x(t), y(t) \in \mathcal{P}^c[t]$ 에 대해, $$\langle x \vert y \rangle = \int_{a}^{b}w(t)x^*(t) y(t) dt$$ 처럼 정의하면, 이는 내적의 조건을 만족합니다. 단, weight function 이라 불리는 $w(t)$ 가 $(a, b)$ 에서 항상 양수라는 조건 하에서만 성립합니다.

 

그리고 $f, g \in \mathbb{C}(a, b)$ 에 대해 $$\langle f \vert g \rangle = \int_{a}^{b}w(x) f^* (x)g(x) dx$$ 처럼 정의하면, 마찬가지로 weight function $w(x)$ 가 $(a, b)$ 에서 항상 양수일 때 내적이 됩니다. 이를 standard inner product on $\mathbb{C}(a, b)$ 라 부릅니다.

 

만약 $\vert a \rangle, \vert b \rangle \in \mathcal{V}$ 가 $\langle a \vert b \rangle = 0$ 을 만족한다면, 두 벡터가 orthogonal 하다고 합니다. 그리고 $\langle e \vert e \rangle = 1$ 인 벡터 $\vert e \rangle$ 을 normal vector 라고 부르고 $\mathcal{B}  = \{\vert e_i \rangle\}_{i=1}^{N}$ 이 아래 조건을 만족하면 $N$ 차원 벡터공간 $\mathcal{V}$ 의 orthonormal basis 라 합니다. $$\langle e_i \vert e_j \rangle = \delta_{ij} = \begin{cases}1 & \text{ if }i = j \\ 0 & \text{ if } i \neq j\end{cases}$$ 여기서 $\delta_{ij}$ 를 크로네커 델타(Kronecker delta)라 부릅니다.

 

예를 들어, 내적공간 $\mathcal{U}$ 와 $\mathcal{V}$, 그리고 $\mathcal{W} = \mathcal{U}\oplus \mathcal{V}$ 에 대해 $\vert w_i \rangle = \left(\vert u_i \rangle, \vert v_i \rangle\right)$ 라 둘 수 있고, $$\langle w_1 \vert w_2\rangle = \langle u_1 \vert u_2 \rangle + \langle v_1 \vert v_2 \rangle$$ 이 $\mathcal{W}$ 에서 내적의 성질을 만족함을 쉽게 보일 수 있습니다. 그리고 $$\mathcal{U} = \left\{\left( \vert u \rangle , \vert 0 \rangle _V \right) \vert \vert u \rangle \in \mathcal{U}\right\} \quad \text{ and }\quad \mathcal{V} = \left\{\left(\vert 0\rangle_U , \vert v \rangle \right) \vert \vert v \rangle \in \mathcal{V}\right\}$$ 에 대해 $\mathcal{U}$ 의 벡터와 $\mathcal{V}$ 의 벡터는 항상 orthogonal 합니다.