Gram-Schmidt Process

벡터 공간 $\mathcal{V}$ 와 그 basis $\mathcal{B}$ 에 대해, $\mathcal{B}$ 의 원소를 적절히 조절하여 orthonormal basis 로 바꿀 수 있습니다. 이 과정을 Gram-Schmidt orthonormalization 이라 합니다.

 

$\mathcal{B} = \{\vert a_i \rangle\}_{i=1}^{N}$ 에 대해 $\vert e_1 \rangle = \vert a_1 \rangle / \sqrt{\langle a_1 \vert a_1 \rangle}$ 이라 두면, $\langle e_1 \vert e_1 \rangle = 1$ 입니다. 여기서 $\vert e_2' \rangle = \vert a_2 \rangle - \vert e_1 \rangle \langle e_1 \vert a_1 \rangle$ 이라 두면, 즉, $a_2$ 를 $e_1$ 방향으로 사영한 벡터를 $a_2$ 에서 빼주면 $\langle e_1 \vert e_2' \rangle = 0$ 이 됩니다. 또, 이를 normalize 하기 위해 $\vert e_2 \rangle = \vert e_2' \rangle / \sqrt{\langle e_2' \vert e_2' \rangle}$ 로 둘 수 있습니다. 마찬가지 방법으로 $$\vert e_3' \rangle = \vert a_3 \rangle - \sum_{i=1}^{2}\vert e_i \rangle \langle e_i \vert a_3 \rangle$$ 이라 하면 이는 $|vert e_1 \rangle, \vert e_2 \rangle$ 과 orthogonal 하고, 이를 다시 normalize 하여 $\vert e_3 \rangle$ 을 만들 수 있습니다. 그러면 $m < N$ 인 $\vert e_1 \rangle, \cdots, \vert e_m \rangle$ 이 있을 때, $$\begin{align*}\vert e_{m+1}' &= \vert a_{m+1}\rangle - \sum_{i=1}^{m}\vert e_i \rangle \langle e_i \vert a_{m+1}\rangle \\ \vert e_{m+1}\rangle &= \dfrac{\vert e_{m+1}'\rangle}{\sqrt{\langle e_{m+1}'\vert e_{m+1}'\rangle}}\end{align*}$$ 처럼 잡는 것을 통해 basis 를 모두 orthonormal basis 로 바꿀 수 있습니다.

 

Theorem(Schwarz inequality)

벡터 $\vert a\rangle, \vert b \rangle \in \mathcal{V}$ 에 대해 $$\langle a \vert a \rangle \langle b \vert b \rangle \geq \vert \langle a \vert b \rangle\vert^2$$ 이 성립합니다. 등호는 두 벡터가 평행할 때 성립합니다.

 

Proof

$\vert c \rangle = \vert b \rangle - \left(\langle a \vert b \rangle / \langle a \vert a \rangle \right) \vert a \rangle$ 이라고 두면, $\langle a \vert c \rangle = 0$ 입니다. 이 때 $$\langle b \vert b \rangle = \left\vert \dfrac{\langle a \vert b \rangle}{\langle a \vert a \rangle}\right\vert^2 \langle a \vert a \rangle + \langle c \vert c \rangle = \dfrac{\vert \langle a \vert b \rangle \vert^2}{\langle a \vert a \rangle}+\langle c \vert c \rangle$$ 가 성립하므로, $$\langle b \vert b \rangle \geq \dfrac{\vert \langle a \vert b \rangle \vert^2}{\langle a \vert a\rangle} \Rightarrow \langle a \vert a \rangle \langle b \vert b \rangle \geq \vert \langle a \vert b \rangle \vert^2$$ 이 증명됩니다. 등호는 $\langle c \vert c \rangle = 0$ 일 때이므로, $\vert c \rangle = 0$ 이 되어야 합니다. 그러면 정의로부터 $\vert a\rangle $ 과 $\vert b \rangle$ 이 평행할 때임을 알 수 있습니다.

 

$\vert a \rangle$ 에 대해 벡터의 norm 은 $\left\| a\right\|$ 로 쓰고, $$\left\| a \right\| = \sqrt{\langle a \vert a \rangle}$$ 로 정의합니다. $\alpha \vert a \rangle + \beta \vert b \rangle$ 의 norm 을 $\left\| \alpha a + \beta b \right\|$ 처럼 쓰기도 합니다.

 

벡터의 norm 이 다음과 같은 성질을 가짐은 쉽게 보일 수 있습니다.

 

(1) $\left\| a \right\| \geq 0$ 이고 $\left\| a\right\| = 0 \Leftrightarrow \vert a \rangle = \vert 0 \rangle$

(2) 모든 $\alpha \in \mathbb{C}$ 에 대해 $\left\| \alpha a \right\| = \vert \alpha \vert \left\| a \right\|$ 

(3) $\left\| a + b \right\| \leq \left\| a \right\| + \left\| b\right\|$

 

여기서 (4) 는 삼각부등식이라고 불리는 그것입니다. 위의 성질을 만족시키는 모든 함수는 norm 이라 불릴 수 있고, norm 을 가지는 벡터 공간을 normed linear space 라고 부릅니다. 그리고 norm 은 꼭 inner product 로만 정의될 수 있지 않기 때문에, normed linear space 라고 해서 반드시 inner product space 가 되는 것은 아닙니다.

 

normed linear space 에서는 두 벡터 사이의 거리를 정의할 수 있으며, $\vert a\rangle$ 와 $\vert b\rangle$ 사이의 거리 $d(a, b)$ 는 단순히 $d(a, b) = \left\| a - b\right\|$ 로 정의됩니다.

 

Inner product space 이면 normed linear space 임은 자명합니다. 그런데 만약 norm 이 parallelogram law 를 만족한다면, $$\left\| a + b\right\|^2 + \left\| a -b \right\|^2 = 2\left\| a \right\|^2 + 2\left \| b \right\|^2$$ 내적을 $$\langle a \vert b \rangle = \dfrac{1}{4}\left\{\left\| a + b \right \|^2 - \left\| a - b \right\|^2 - i \left(\left\| a + ib \right\|^2 - \left\| a - ib \right\|^2\right)\right\}$$ 으로 정의하여, inner product space 를 만들 수 있습니다. 즉, 역이 성립하기 위해서는 추가적인 조건이 붙으면 됩니다.

 

Theorem

normed linear space 가 inner product space 인 것은 norm 이 parallelogram law 를 만족시키는 것과 동치이다.

 

Proof

parallelogram law 를 만족시킬 때 inner product space 가 됨은 위에서 내적을 직접 제시하여 보였으므로, 반대방향을 보이면 증명이 완성됩니다. $N$ 차원 벡터공간 $\mathcal{V}$ 와 그 basis $\{\vert a_i \rangle\}_{i=1}^{N}$ 에 대해 $$\vert a \rangle = \sum_{i=1}^N \alpha_i \vert a_i \rangle \quad \Rightarrow \quad \left \| a \right\|^2 = \sum_{i=1}^{N}\vert \alpha_i \vert^2$$ 처럼 norm 을 정의하면 norm 의 조건을 잘 만족시키고, parallelogram law 또한 만족시킴을 알 수 있습니다. 따라서 증명이 완성됩니다.

 

Proposition

모든 유한차원 벡터공간은 inner product space 로 만들 수 있다.

 

예를 들어 $\mathbb{C}^n$ 의 경우 $\vert a \rangle = \left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n \right)$ 에 대해 $$\left\| a \right\| = \sqrt{\langle a \vert a \rangle} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\vert \alpha_i \vert^2}$$ 처럼 잡을 수 있습니다. 그러면 $$d(a, b) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\vert \alpha_i - \beta_i \vert^2}$$ 이 됩니다. 만약 norm 을 다르게 잡으면, 특히 $\left\| a\right\|_1 = \sum_{i=1}^n \vert\alpha_i\vert$ 와 같이 잡으면 $$d_1 (a, b) = \left\| a - b\right\|_1 = \sum_{i=1}^{n}\vert \alpha_i - \beta_i \vert$$ 가 됩니다. 또 다른 norm 으로는 $$\left \| a \right\|_p = \left(\sum_{i=1}^{n}\vert \alpha_i\vert^p \right)^{1/p}$$ 가 있으며, 이 때 $p$ 는 양의 정수입니다. 그러면 $$d_p (a, b) = \left\| a - b\right\|_p  =\left(\sum_{i=1}^{n}\vert \alpha_i - \beta_i \vert^p \right)^{1/p}$$ 를 얻습니다.