정역의 Quotient field

유리수 $\frac{a}{b}$ 는 두 정수 $a, b$ 의 순서쌍으로 표현할 수 있습니다. (단, $b \neq 0$) 이 때 $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\quad \Leftrightarrow \quad ad = bc$$ 임은 흔히 알려져 있습니다.

 

정역 $R$ 에 대해 집합 $S$ 를 다음처럼 정의하겠습니다. $$S = \{(a, b) \vert a, b \in R \text{ and } b \neq 0_R\}$$ 이 때 $S$ 위의 관계 $\sim$ 을 $$(a, b) ~ (c, d) \quad \text{ means } \quad ad = bc$$ 라 정의하겠습니다. 그러면 아래 정리가 성립합니다.

 

$\sim$ 은 $S$ 위의 동치관계(equivalence relation)이다.

 

Proof

$R$ 이 가환이므로, $ab = ba$ 가 되어 $(a, b) \sim (a, b)$ 가 성립합니다.

 

만약 $(a, b) \sim (c, d)$ 이면 $ad = bc$ 이고, $R$ 이 가환이므로 $cb = da$ 가 되어 $(c, d) \sim (a, b)$ 입니다.

 

만약 $(a, b) \sim (c, d)$ 이고 $(c, d) \sim (r, s)$ 이면 $ad = bc$ 이고 $cs = dr$ 입니다. 그러면 $$ads=(bc)s = b(cs) = bdr$$ 이고 $d \neq 0_R$ 이므로 $as = br$ 이 되어 $(a, b) \sim (r, s)$ 입니다.

 

따라서 $\sim$ 은 equivalence relation 입니다.

 

 

이제 $\sim$ 에 대한 $(a, b)$ 의 동치류(equivalence class)를 생각할 수 있으며, 이를 $[a, b]$ 라 표기하겠습니다. 또, $F$ 를 $\sim$ 에 의한 모든 동치류의 집합이라 두겠습니다. 그러면 $$[a, b] = [c,d] \quad \Leftrightarrow\quad (a, b) \sim (c, d)$$ 가 되므로 $\sim$ 의 정의에 의해 $$[a, b] = [c, d] \quad \Leftrightarrow\quad ad = bc$$ 가 됩니다.

 

이제 $F$ 의 원소에 대한 덧셈과 곱셈을 다음처럼 정의하겠습니다. $$[a, b]+[c, d] = [ad + bc, bd] \\ [a, b][c, d]= [ac, bd]$$

 

만약 $[a, b] = [a', b']$ 이고 $[c, d] = [c', d']$ 이면 $$[ad + bc, bd] = [a'd' + b'c', b'd'] \\ [ac, bd] = [a'c', b'd']$$ 가 성립한다.

 

Proof

$[ad + bc, bd] = [a'd' + b'c', b'd']$ 가 성립하는 것과 $(ad + bc)b'd' = bd(a'd' + b'c')$ 이 성립하는 것은 동치입니다. 그런데 $[a,b] = [a', b']$ 이고 $[c, d] = [c', d']$ 이므로 $$ab' = ba' \quad \text{ and }\quad cd'=dc'$$ 이 성립합니다. 따라서 $$ab'(dd') + cd'(bb') = ba'(dd') + dc'(bb') \quad \Leftrightarrow \quad (ad + bc)b'd' = bd(a'd' + b'c')$$ 이 되어, $[ad + bc, bd] = [a'd' + b'c', b'd']$ 입니다.

 

또, $$(ab')(cd') = (ba')(cd') \quad \text{ and }\quad (cd')(ba') = (dc')(ba')$$ 이 성립하고, 따라서 $ab'cd' = dc'ba'$ 입니다. 그런데 이는 $[ac, bd] = [a'c', b'd']$ 과 동치이므로 증명이 완성됩니다.

 

정역 $R$ 과 위에서 정의한 $F$ 가 있을 때 $0_R$ 이 아닌 $a, b, c, d, k\in R$ 에 대해 다음이 참이다. (a) $[0_R, b] = [0_R, d]$ (b) $[a, b] = [ak, bk]$ (c) $[a, a] = [c, c]$

 

증명은 어렵지 않으므로 생략하겠습니다.

 

위와 같이 정의된 덧셈과 곱셈에 대해 $F$ 는 체이다.

 

Proof

임의의 $b \neq 0_R$ 에 대해 $0_F = [0_R, b]$ 이라 두고, $e_R = [1_R, 1_R]$ 이라 두면 $F$ 가 체가 됨을 쉽게 보일 수 있습니다.

 

정역 $R$ 와 위처럼 정의한 $F$ 에 대해 $$R^* = \{[a, 1_R] \vert a \in R\}$$ 은 정역이고 $R$ 과 isomorphic 하다.

 

Proof

$[1_R, 1_R]$ 을 identity 로 하면 $R^*$ 이 정역임은 쉽게 보여집니다. 또 $f : R \to R^*$ 를 $f(a) = [a, 1_R]$ 로 정의하면 $f$ 가 homomorphism 을 다음처럼 보일 수 있습니다. $$\begin{align*}f(a)+f(c) &= [a, 1_R] + [c, 1_R] = [a1_R + 1_R c, 1_R 1_R] \\ &= [a+c, 1_R] = f(a+c) \\ f(a)f(c) &= [a, 1_R][c, 1_R] = [ac, 1_R] = f(ac)\end{align*}$$ 또 만약 $f(a) = f(c)$ 이면 $[a, 1_R] = [c, 1_R]$ 에서 $a1_R = 1_Rc$ 이고, 따라서 $a =c$ 입니다. $f$ 의 정의에 의해 자명하게 전사함수이므로, $f$ 는 isomomorphism 이 되고 $R$ 과 $R^*$ 은 isomorphic 합니다.

 

 

이제 $(a, b)$ 의 동치류를 $[a, b]$ 라 적는 대신, $a/b$ 처럼 쓰도록 하겠습니다. 어쩌면 이 글을 읽는 대부분은 이러한 notation 이 훨씬 친숙할지도 모르겠습니다. 또, 위와 같이 정의한 $F$ 를 quotient 의 집합이라 하겠습니다.

 

 

정역 $R$ 과 quotient 의 집합 $F$ 에 대해 $K$ 가 $R$ 을 포함하는 체라고 하자. 그러면 $$R \subseteq E \subseteq K$$ 이고 $F$ 와 isomorphic 한 $E$ 가 존재한다.

 

Proof

$a/b \in F$ 라면 $a, b \in R$ 이고 $b \neq 0_R$ 입니다. 그런데 $R \subseteq K$ 이므로 $b^{-1}$ 이 존재합니다. 이제 $f : F \to K$ 를 $f(a/b) = ab^{-1}$ 이라 정의하면 $f$ 가 잘 정의되고 단사함수인 homomorphism 을 쉽게 보일 수 있습니다. 이제 $E$ 를 $F$ 에서 $f$ 의 image 라 하면, $F \cong E$ 가 되고, 임의의 $a \in R$ 에 대해 $$a = a1_R^{-1} = f(a/1_R) \in E$$ 이므로 $R \subseteq E \subseteq K$ 가 성립합니다.