UFD 더 알아보기

UFD $R$ 에 대해 $c, d \in R$ 이 $0_R$ 이 아닐 때, 어떤 unit $u, v$ 와 irreducible 하고 어느 쌍도 associate 하지 않은 $p_1, p_2, \cdots, p_k$ 가 존재하여 $$c = u p_{1}^{m_1} p_{2}^{m_2} \cdots p_{k}^{m_k} \quad \text{ and }\quad d = v p_{1}^{n_1}p_{2}^{n_2}\cdots p_{k}^{n_k}$$ 이다. ($m_i, n_i$ 는 음이 아닌 정수) 또, $$c \mid d \quad \Leftrightarrow \quad m_i \leq n_i \text{ for all } i = 1, 2, \cdots k$$ 가 성립한다.

 

Proof

우선 $q_2, q_3$ 가 $q_1$ 과 associate 하다면 어떤 unit $u_2, u_3$ 에 대해 $q_2 = u_2 q_1, q_3 = u_3 q_1$ 이므로 unit $u = u_2 u_3$ 에 대해 $$q_1 q_2 q_3 = (u_2 u_3)q_1^3 = uq_1^3$$ 처럼 쓸 수 있습니다. 이 사실과 UFD 의 정의를 이용하면 앞의 사실은 증명됩니다.

 

또, $c \mid d$ 이면 어떤 $t$ 가 존재하여 $d = ct$ 입니다. irreducible 한 $p_i$ 가 $d$ 의 전개에서 $n_i$ 번 나타나는데, $ct$ 의 전개에서는 $c$ 에서 이미 $m_i$ 번 등장했으므로 $m_i \leq n_i$ 가 되어야 $t$ 에서 $p_i$ 가 음수 번 등장하는 일이 발생하지 않게 되어 증명이 완성됩니다.

 

 

UFD 의 원소 $a$ 는 $a$ 와 associate 한 $b$ 에 대해 항상 $b \mid a$ 가 성립합니다. 따라서 $b \mid a$ 이고 $a$ 와 associate 하지 않은 $b$ 를 proper divisor 라고 부릅니다. 따라서 $p$ 가 irreducible 하다는 것의 정의를 proper divisor 가 unit 뿐인 원소라고 다시 쓸 수도 있습니다.

 

UFD $R$ 에서, 무한수열 $$a_1, a_2, a_3, \cdots$$ 을 모든 $i > 1$ 에 대해 $a_{i}$ 가 $a_{i-1}$ 의 proper divisor 가 되도록 잡을 수 없다.

 

Proof

만약 위 조건을 만족하는 무한수열이 존재한다면, $R$ 이 UFD 이므로 $$a_1 =v p_1^{n_1} p_2^{n_2} \cdots p_k^{n_k}$$ 인 unit $v$ 와 irreducible 하고 어느 쌍도 associate 하지 않은 $p_i$ 가 존재합니다. $i > 1$ 일 때 $a_i$ 는 $a_1$ 의 divisor 이므로 unit $u$ 에 대해 $u p_1^{m_1} p_2^{m_2} \cdots p_k^{m_k}$ 꼴이면 $0\leq m_j \leq n_j$ 가 성립해야 합니다. 그런데 $a_{i+1}$ 이 $a_i$ 의 proper divisor 이려면 각 지수 중 적어도 하나는 감소해야 하고, 나머지는 작거나 같아져야 하므로 반드시 $n_1 n_2 \cdots n_k$ 회 안에 $a_t = u p_1^{0} p_2^{0} \cdots p_k^{0} = u$ 에 도달하게 됩니다. 따라서 무한수열임에 모순이고, 주어진 조건을 만족하는 무한수열은 존재하지 않습니다.

 

UFD $R$ 과 적어도 하나는 $0_R$ 이 아닌 $a_1, a_2, \cdots a_n \in R$ 에 대해 이들의 GCD 도 $R$ 의 원소이다.

 

Proof

irreducible 하고 어느 쌍도 associate 하지 않은 $p_1, \cdots, p_t$ 와 unit $u_1, \cdots u_n$ 이 존재하여 $$\begin{align*}a_1 &= u_1 p_1^{m_{11}} p_2^{m_{12}} p_3^{m_{13}} \cdots p_t^{m_{1t}} \\ a_2 &= u_2 p_1^{m_{21}} p_2^{m_{22}} p_3^{m_{23}} \cdots p_t^{m_{2t}} \\ \vdots \\ a_n &= u_n p_1^{m_{n1}} p_2^{m_{n2}} p_3^{m_{n3}} \cdots p_t^{m_{nt}}\end{align*}$$ 이게 할 수 있습니다. 이제 $k_i = \min \{m_{1k}, m_{2k}, \cdots, m_{nk}\}$ 라 두면 $$d = p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_t^{k_t}$$ 또는 $d$ 와 associate 한 것이 GCD 가 되고, 이는 반드시 $R$ 의 원소입니다.

 

UFD $R$ 과 $p\in R$ 에 대해, $p$ 가 irreducible 하면 $p \mid bc$ 일 때 $p \mid b$ 또는 $p \mid c$ 이다.

 

Proof

만약 $b$ 또는 $c$ 가 $0_R$ 이면 더 증명할 것이 없습니다. 만약 $c$ 가 unit 이라면 어떤 $t \in R$ 에 대해 $pt = bc$ 에서 $b = ptc^{-1}$ 이 되고, 따라서 $p \mid b$ 가 됩니다. 마찬가지로 $b$ 가 unit 이라면 $p \mid c$ 입니다.

 

만약 $b, c$ 가 모두 $0_R$ 이 아니면서 unit 도 아니라면, irreducible 한 $p_i$ 에 대해 $b = q_1 q_2 \cdots q_r, c = q_{r+1} \cdots q_s$ 처럼 쓰여집니다. ($q_i$ 끼리 서로 다를 필요는 없습니다.) 그런데 $p \mid bc$ 이므로 $pr = bc = q_1 \cdots q_s$ 인 $r \in R$ 이 존재하고, UFD 의 정의에 의해 $p$ 는 반드시 어떤 $q_i$ 와 associate 해야 합니다. 따라서 $p \mid q_i$ 이고 그러므로 $p$ 는 $b$ 또는 $c$ 를 나눕니다.