principal ideal 과 PID

Principal ideal $(b)$ 란, 정역 $R$ 에서 $b$ 로 나누어지는 모든 원소의 집합입니다. 이것이 ideal 임은 나누어짐의 정의에 의해 자명합니다. 그리고 이는 곧 $$ a\in (b) \quad \Leftrightarrow \quad b \mid a$$ 가 성립하는 것을 의미합니다. 또 $a \in (b)$ 라면, $a$ 가 나누는 모든 원소 또한 $(b)$ 의 원소입니다. 즉, $(a) \subseteq (b)$ 입니다. 이 반대 또한 성립하므로 $$(a) \subseteq (b) \quad \Leftrightarrow \quad b\mid a$$ 입니다. 이를 이용하면 $$(a) = (b) \quad \Leftrightarrow\quad a\mid b \text{ and }b \mid a$$ 이고, 또한 다음이 성립합니다. $$(a) \subsetneq (b)\quad \Leftrightarrow\quad b \text{ is a proper divisor of } a$$ 그러면 이를 이용하여 $UFD$ 의 성질 중 하나를 다음처럼 쓸 수 있습니다.

 

다음과 같은 principal ideal 의 chain 은 존재하지 않는다. $$(a_1)\subsetneq (a_2 )\subsetneq (a_3 )\subsetneq\cdots$$

 

이를 오히려 부정형으로 써서, 다음과 같은 정의를 하기도 합니다.

 

정역 $R$ 이 ascending chain condition (ACC) 를 만족한다는 것은, principal ideal 의 chain 이 존재해 $$(a_1 ) \subseteq (a_2) \subseteq (a_3) \subseteq \cdots $$ 를 의미하고, 그렇다면 어떤 $n$ 이 존재해 모든 $i\geq n$ 에 대해 $(a_i ) = (a_n)$ 이다.

 

정역 $R$ 이 UFD인 것은 다음 두 조건을 모두 만족하는 것과 동치이다. (a) $R$ 이 ACC 를 만족한다. (b) $p$ 가 irreducible 한 $R$ 의 원소이고 $p \mid cd$ 일 때 $p \mid c $ 또는 $p \mid d$ 이다.

 

Proof

만약 $R$ 의 UFD 이면 (b) 가 성립함은 앞선 글에서 보였습니다. 또, (a) 가 성립함은 이 글에서 보였습니다. 따라서 반대쪽 방향만 보이는 것으로 충분합니다.

 

$R$ 이 (a), (b) 를 모두 만족한다고 가정하겠습니다. 이제 $R$ 의 $0_R$ 이 아니고 unit 이 아닌 원소 $a$ 를 생각하면, $a$ 가 factorization 을 가진다는 것을 보여야 합니다. 만약 $a$ 가 irreducible 한 원소의 곱으로 나타나지 않는다고 생각해보겠습니다. 그러면 $a$ 는 irreducible 하지 않으므로 어떤 $a_1, b_1 \in R$ 에 대해 $a = a_1 b_1$ 이 성립합니다. 그런데 만약 $a_1, b_1$ 이 모두 irreducible 한 원소의 곱이 된다면 $a$ 또한 마찬가지이므로, 일반적으로 $a_1$ 이 irreducible 한 원소의 곱으로 나타나지 않는다고 생각하겠습니다. $b_1$ 이 unit 이 아니므로 $a_1$ 은 $a$ 와 associate 하지 않고, 따라서 $a_1$ 은 $a$ 의 proper divisor 입니다. 이는 곧 $$(a) \subsetneq (a_1)$$ 을 의미합니다. 위의 논의를 $a$ 자리에 $a_1$ 을 넣어 반복하면 다시 irreducible 한 원소의 곱으로 나타나지 않으며 $a_1$ 의 proper divisor 인 $a_2$ 를 잡을 수 있고, 이는 곧 $$(a_1 ) \subsetneq (a_2) \subsetneq (a_3)\subsetneq \cdots $$ 가 되어 (a) 와 모순입니다. 따라서 $a$ 는 적어도 한 가지 방법을 통해 irreducible 한 원소의 곱으로 표현됩니다.

 

이제 $a$ 의 factorization 이 유일함을 보이면 $R$ 이 UFD 임이 보여지는데, 이는 어렵지 않으므로 생략하겠습니다.

 

principal ideal domain (PID) 는 모든 ideal 이 principal 한 정역이다.

 

PID $R$ 은 ACC 를 만족한다.

 

Proof

$$(a_1) \subseteq (a_2) \subseteq \cdots$$ 가 $R$ 의 principal ideal 로 이루어진 ascending chain 이라면, $$A = \bigcup_{t \geq 1}(a_t)$$ 를 생각할 수 있습니다. 이 때 $A$ 가 ideal 이 됨을 보이겠습니다. $a, b\in A$ 에 대해 어떤 $j, k \geq 1$ 이 존재하여 $a \in (a_j)$ 이고 $b \in (a_k)$ 입니다. 그리고 일반적으로, $j \leq k$ 라 생각하겠습니다. 그러면 $(a_j) \subseteq (a_k)$ 이고, 따라서 $a, b \in (a_k)$ 입니다. 그런데 $(a_k)$ 가 ideal 이므로 $a -b \in (a_k ) \in A$ 이고, 임의의 $r \in R$ 에 대해 $ra \in (a_k) \subseteq A$ 가 되어 $A$ 는 이 글에서 보였듯이 ideal 이 됩니다. 그런데 $R$ 이 PID 이므로, 어떤 $c \in R$ 에 대해 $A = (c)$ 가 됩니다. 그런데 $A$ 의 정의에 의해, 어떤 $n$ 이 존재하여 $c \in (a_n)$ 이고, 따라서 $(c) \subseteq (a_n)$ 을 이용하면 $i \geq n$ 에 대해 $$(a_n) \subseteq (a_i) \subseteq \bigcup_{t\geq 1}(a_t) = A = (c) \subseteq (a_n)$$ 이 되어 $(a_i) = (a_n)$ 이고, 따라서 ACC 를 만족합니다.

 

PID $R$ 과 irreducible 한 $p \in R$ 에 대해 $p \mid bc$ 이면 $p \mid b$ 또는 $p \mid c$ 이다.

 

Proof

만약 $p \mid bc$ 이면 $bc \in (p)$ 입니다. 만약 $(p)$ 가 prime ideal 이라면 $b \in (p)$ 또는 $c \in (p)$ 가 되어 증명이 완성됩니다. 그런데 만약 $(p)$ 가 maximal ideal 이라면 $(p)$ 는 prime ideal 이므로, $(p)$ 가 maximal ideal 임을 보이는 것으로 충분합니다.

 

$(p) \subseteq I \subseteq R$ 인 ideal $I$ 를 생각하겠습니다. $R$ 이 PID 이므로 어떤 $ d\in R$ 이 존재하여 $I = (d)$ 인데, $(p) \subseteq (d) = I$ 에서 $d \mid p$ 입니다. 그런데 $p$ 는 irreducible 하므로 $d$ 는 unit 이거나 $p$ 와 associate 하고, 만약 $d$ 가 unit 이라면 $I = (d) = R$ 이 됩니다.

 

$d$ 가 $p$ 와 associate 하다면 $d = pu$ 인 unit $u$ 가 존재하고, 따라서 $p \mid d$ 가 되어 $(d) = I = (p)$ 가 성립합니다. 따라서 $(p)$ 는 maximal ideal 이고, 증명이 완성됩니다.

 

 

그리고 위의 두 정리를 결합하면 아래 정리가 증명됨을 알 수 있습니다.

 

모든 PID 는 UFD 이다.

 

정역 $R$ 이 Euclidean domain 이라는 것은, 어떤 함수 $\delta$ 가 존재하여 $R$ 의 $0_R$ 이 아닌 원소를 음이 아닌 정수로 대응시키며 다음 조건을 만족하는 것이다. (a) $a, b\in R - \{0_R\}$ 에 대해 $\delta (a) \leq \delta (ab)$ (b) $a, b\in R$ 이고 $b\neq 0_R$ 이면 어떤 $q, r$ 이 존재하여 $a = bq +r$ 이고 $r= 0_R$ 이거나 $\delta (r) < \delta (b)$

 

모든 Euclidean domain 은 PID 이다.

 

Proof

Euclidean domain $R$ 의 nonzero ideal $I$ 를 생각하겠습니다. 그러면 $I$ 의 원소 중 $\delta (a)$ 가 최소인 $a$ 가 존재합니다. 이제 $I$ 가 $(a)$ 가 됨을 보이겠습니다.

 

$a \in I$ 이고 $I$ 가 ideal 이므로 임의의 $b \in R$ 에 대해 $ta \in I$ 입니다. 따라서 $(a) \subseteq I$ 입니다. 반대로 어떤 $b \in I$ 에 대해, 어떤 $q, r \in R$ 가 존재해 $b = aq +r$ 이고 $r = 0_R$ 이거나 $\delta (r) < \delta (a)$ 입니다. 그런데 $r = b - aq$ 인데 $a, b\in I$ 이므로 $r \in I$ 가 되고, 만약 $r \neq 0_R$ 이면 $a$ 가 $\delta(a)$ 가 최소인 $I$ 의 원소임에 모순입니다. 따라서 $r = 0_R$ 이고, 따라서 $b = aq$ 가 되어 $ b\in (a)$ 가 됩니다. 이는 $I \subseteq (a)$ 임을 의미하고, 따라서 $I = (a)$ 가 되어 증명이 완성됩니다.

 

위의 따름정리로, 다음을 얻습니다.

 

$\mathbb{Z}[i]$ 는 PID 이다.

 

이에 대한 증명은 어렵지 않으므로 생략하겠습니다.