형식적 멱급수(Formal Power Series)

$$\sum_{n=0}^{\infty}a(n)x^n = a(0) + a(1)x + a(2)x^2 + \cdots + a(n)x^n + \cdots $$ 는 수학에서 멱급수라고 불립니다. 일반적으로 멱급수를 다룰 때는 그 수렴성을 굉장히 엄밀하게 따지지만, 여기서는 조금 다른 시각으로 멱급수를 바라보려 합니다.

 

형식적 멱급수 (Formal Power Series) 라고 불리는 다른 시각은 $x$ 에 어떤 숫자를 넣는 것에는 관심이 없고, 따라서 멱급수가 수렴하는지 발산하는지 또한 관심이 없습니다. 실제로 관심을 가지는 것은 계수의 수열 $$\left(a(0), a(1), \cdots, a(n), \cdots\right)$$ 입니다. $x^n$ 은 $a(n)$ 의 위치를 파악하는 것이 주 목적이며, $a(0)$ 는 상수 계수라고 부릅니다.

 

형식적 멱급수는 마치 수렴하는 멱급수를 다루듯이 연산할 수 있습니다. 즉, 두 형식적 멱급수 $$A(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a(n) x^n, \quad B(x) = \sum_{n=0}^{\infty} b(n)x^n$$ 에 대해 $A(x) = B(x)$ 는 모든 $n \geq 0$ 에 대해 $a(n) = b(n)$ 을 의미하고, $$\begin{align*}A(x) + B(x) &= \sum_{n=0}^{\infty}(a(n)+b(n))x^n \\ A(x)B(x) &= \sum_{n=0}^{\infty}c(n)x^n, \quad c(n) = \sum_{k=0}^{n}a(k)b(n-k)\end{align*}$$ 이 때 $c(n)$ 은 $a(n)$ 과 $b(n)$ 의 코시 곱(Cauchy Product) 이라고도 부릅니다. 또, $$0 = \sum_{n=0}^{\infty} a(n)x^n$$ 이면 $a(n) = 0 \text{ for all } n \geq 0$ 을 Zero Element 라 부르고, $$1 = \sum_{n=0}^{\infty} a(n)x^n$$ 이면 $a(0) = 1 \text{ and } a(n) = 0 \text{ for all } n \geq 1$ 을 Identity Element 라 부릅니다.

 

상수 계수가 $0$ 이 아닌 어떤 형식적 멱급수 $\displaystyle A(x) = \sum_{n=1}^{\infty}a(n)x^n$ 에 대해, 어떤 형식적 멱급수 $\displaystyle B(x) = \sum_{n=1}^{\infty}b(n)x^n$ 이 유일하게 존재하여 $A(x)B(x) = 1$ 을 만족합니다. $B(x)$ 의 계수는 다음 식 $$\begin{align*}a(0)b(0)& = 1 \\ a(0)b(1)& + a(1)b(0) = 0 \\ a(0)b(2)& + a(1)b(1) + a(2)b(0) = 0, \\ \vdots  \end{align*}$$ 를 풀어 유일하게 결정할 수 있습니다. 이 때, $B(x)$ 를 $A(x)$ 의 역함수(inverse) 라 부르고, $A(x)^{-1}$ 이나 $\frac{1}{A(x)}$ 로 표기합니다. 

 

다음과 같은 특수한 형식적 멱급수 $$A(x) = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} a^n x^n$$ 은 기하급수(geometric series) 라 부릅니다. 이 때 $A(x)^{-1} = 1 - ax$ 입니다.