완전 곱셈적 함수와 리우빌 함수

만약 함수 $f$ 가 완전 곱셈적 함수라면, 그 디리클레 역함수는 다음 성질을 만족합니다.

 

완전 곱셈적 함수 $f$ 에 대해, $f^{-1}(n) = \mu (n) f(n)$ 이 모든 $n \geq 1$ 에 대해 성립한다. 이 명제는 역 또한 참이다.

 

Proof

$g(n) = \mu(n) f(n)$ 이라 하면, $f$ 가 완전 곱셈적 함수이므로 $$(g*f)(n) = \sum_{d\mid n}\mu(d)f(d)f\left(\frac{n}{d}\right) = f(n) \sum_{d\mid n} \mu(d) = f(n)I(n) = I(n)$$ 입니다. 그런데 $f(1) = 1$ 이고 $n > 1$ 일 때 $I(n) = 0$ 이므로 $g = f^{-1}$ 입니다.

 

반대로, $f^{-1}(n) = \mu(n)f(n)$ 일 때, $f$ 가 완전 곱셈적 함수임을 보이기 위해서는 $f(p^a) = f(p)^a$ 임을 보여야 합니다. $f^{-1} = \mu(n)f(n)$ 은 곧 $$\sum_{d\mid n}\mu(d)f(d)f\left(\frac{n}{d}\right) = 0 \quad \text{ for all } n > 1$$ 을 의미합니다. 여기에 $n = p^a$ 를 대입하면 $$\mu(1)f(1)f(p)^a + \mu(p)f(p)f(p^{a-1})= 0$$ 이 되고, 이는 곧 $f(p^a) = f(a)f(p^{a-1})$ 을 의미합니다. $a$ 는 정수이므로 $f(p^a) = f(p)^a$ 입니다. 따라서 $f$ 는 완전 곱셈적 함수입니다.

 

 

예를 들어, 오일러 피 함수에 대해 $\phi = \mu * N$ 이고 $N$ 이 완전 곱셈적 함수이므로 $$\phi^{-1}= \mu^{-1} * N^{-1} = \mu^{-1} * \mu N = u * \mu N$$ 이 성립합니다. 따라서 $$\phi^{-1}(n) = \sum_{d\mid n} d\mu (d) $$ 입니다.

 

다음으로, $\phi^{-1}(n) = \prod_{p \mid n}(1-p)$ 임을 보이겠습니다.

 

만약 $f$ 가 곱셈적 함수라면 $$\sum_{d\mid n} \mu(d) f(d) = \prod_{p\mid n} (1 - f(p))$$ 이다.

 

Proof $$g(n) = \sum_{d\mid n}\mu(d)f(d)$$ 라고 하면, $g$ 는 곱셈적 함수입니다. 그런데 $$g(p^a) = \sum_{d\mid p^a} \mu(d) f(d)= \mu(1) f(1) + \mu(p) f(p) = 1- f(p)$$ 이므로 $$g(n) = \prod_{p \mid n} g(p^a) - \prod_{p \mid n} (1 - f(p))$$ 가 성립합니다.

 

 

이제 리우빌 함수 $\lambda$ 를 정의하겠습니다.

 

리우빌 함수 $\lambda$ 는 $\lambda(1) = 1$ 이고 $n = \prod_{i=1}^{k} p_{k}^{a_k}$ 일 때 $$\lambda(n) = (-1)^{a_1 + a_2 + \cdots a_n}$$ 으로 정의한다.

 

정의에 의해, $\lambda$ 는 완전 곱셈적 함수입니다. 다음으로 리우빌 함수의 간단한 성질을 보이겠습니다.

 

모든 $n \geq 1$ 에 대해, $$\sum_{d\mid n}\lambda(d) = \begin{cases} 1 & \text{ if } n \text{ is a square} \\ 0 & \text{ otherwise }\end{cases}$$ 가 성립한다.

 

Proof

$g(n) = \displaystyle\sum_{d\mid n}\lambda(d)$ 라 하면, $g$ 는 곱셈적 함수입니다. 그런데 $$\begin{align*} g(p^a) = \sum_{d\mid p^a} \lambda(d) &= 1 + \lambda(p) + \lambda(p^2) + \cdots + \lambda(p^a) \\
&= 1  - 1 + 1 - 1 + \cdots + (-1)^a = \begin{cases}0 & \text{ if } a \text{ is odd } \\ 1 & \text{ if  } a \text{ is even }\end{cases}\end{align*}$$ 그런데 $n = \displaystyle\prod_{i=1}^{k}p_{i}^{a_i}$ 이므로 $g(n) = \displaystyle\prod_{i=1}^{k}g(p_{i}^{a_i})$ 가 되어, $n$ 이 제곱수가 될 때가 아니면 0이 되고 제곱수이면 1이 됩니다.

 

 

또한, 리우빌 함수는 완전 곱셈적 함수이므로 $$\lambda^{-1} = \mu \lambda = \mu^2  = \vert \mu \vert$$ 입니다.