망골트 함수

망골트 함수는 $\Lambda$ 로 표기하며, 소수와 관련된 식에서 종종 등장합니다. 정의는 다음과 같습니다.

 

모든 $n \geq 1$ 에 대해, 망골트 함수는 $$\Lambda (n) = \begin{cases} \log p & \text{ if } n = p^m \text{ for some } p \text{ and some } m \geq 1 \\ 0 & \text{ otherwise } \end{cases}$$ 로 정의된다.

 

망골트 함수에 대해서는 다음과 같은 간단한 성질이 성립합니다.

 

$n \geq 1$ 일 때, $$\log n = \sum_{d\mid n}\Lambda (d)$$

 

Proof

$n = 1$ 이면 자명하게 성립합니다. $n > 1$ 일 때 $n = \prod_{k=1}^{r} p_{k}^{a_k}$ 로 쓰면, $$\log n = \sum_{k=1}^{r} a_k \log p_k$$ 입니다. 이제 원래 정리의 우변을 잘 보면 $$ \sum_{d\mid n} \Lambda (d) = \sum_{k=1}^{r} \sum_{m=1}^{a_k} \Lambda (p_k^m ) = \sum_{k=1}^{r}\sum_{m=1}^{a_k} \log p_k = \sum_{k=1}^{r} a_k \log p_k = \log n$$ 이 성립함을 알 수 있습니다.

 

 

이제 뫼비우스 반전공식을 사용하면 다음 정리를 증명할 수 있습니다.

 

$n \geq 1$ 일 때, $$\Lambda (n) = \sum_{d\mid n}\mu(d) \log \frac{n}{d} = -\sum_{d\mid n}\mu(d) \log d$$

 

Proof

$\log n = \displaystyle\sum_{d \mid n}\Lambda(d)$ 에서 뫼비우스 반전공식을 사용하면 $$\begin{align*}
\Lambda(n) &= \sum_{d\mid n}\mu(d) \log \frac{n}{d} = \log n \sum_{d\mid n} \mu(d) - \sum_{d\mid n}\mu(d) \log(d) \\ &= I(n) \log n - \sum_{d \mid n} \mu(d) \log d
\end{align*}$$ 이고, $I(n) \log n = 0$ 이므로 증명이 완성됩니다.