일반화된 디리클레 곱 (Generalized Convolution)

이후로 $F(x)$ 라는 함수는 별도의 언급이 없다면 정의역이 $(0, \infty)$ 이고, $0 < x < 1$ 일 때 $F(x) = 0$ 인 함수입니다.

 

디리클레 곱과 유사하게, $$\sum_{n \leq x} \alpha(n) F\left(\frac{x}{n}\right)$$ 은 자주 보이는 꼴 입니다. 따라서 이를 일반화된 디리클레 곱이라고 부르고, $\alpha \circ F$ 라고 표기합니다.

 

만약 $F(x)$ 가 정수가 아닌 $x$ 일 때 0인 값을 가진다면, $$(\alpha \circ F)(m) = (\alpha * F)(m)$$ 이 정수 $m \geq 1$ 에서 성립합니다.

 

일반화된 디리클레 곱은 다음과 같은 성질을 만족합니다.

 

함수 $\alpha$ 와 $\beta$, $F$ 에 대해 $$\alpha \circ (\beta \circ F) = (\alpha * \beta) \circ F$$ 가 성립한다.

 

Proof

$x > 0$ 일 때, $$\begin{align*}\{\alpha \circ (\beta \circ F )\}(x) &= \sum_{n \leq x}\alpha(n) \sum_{m \leq \frac{x}{n}}\beta(m) F\left(\frac{x}{mn}\right) = \sum_{mn \leq x} \alpha(n) \beta(m)F\left(\frac{x}{mn}\right) \\ &= \sum_{k \leq x}\left(\sum_{n \mid k}\alpha(n)\beta\left(\frac{k}{n}\right)\right)F\left(\frac{x}{k}\right) = \sum_{k \leq x}(\alpha * \beta)(k)F\left(\frac{x}{k}\right) \\ &= \{(\alpha * \beta) \circ F\}(x)\end{align*}$$ 입니다.

 

다음으로, $I(n) = \left[\frac{1}{n}\right]$ 은 일반화된 디리클레 곱에서는 왼쪽에서 가했을 때 identity 가 됨을 기억해두면 좋습니다. 즉, $$(I \circ F)(x) = \sum_{n \leq x}\left[\frac{1}{n}\right]F\left(\frac{x}{n}\right) = F(x)$$ 입니다.

 

이제 뫼비우스 반전공식과 같이, 일반화된 디리클레 곱에서도 반전공식을 증명하겠습니다.

 

함수 $\alpha$ 가 디리클레 역함수 $\alpha^{-1}$ 을 가질 때, $$G(x) = \sum_{n \leq x}\alpha(n) F\left(\frac{x}{n}\right)$$ 이면 $$F(x) = \sum_{n \leq x}\alpha^{-1}(n) G\left(\frac{x}{n}\right)$$ 이다. 이 정리는 역 또한 참이다.

 

Proof

$G = \alpha \circ F$ 일 때 $$\alpha^{-1} \circ G = \alpha^{-1} \circ (\alpha \circ F) = (\alpha^{-1} * \alpha) \circ F = I \circ F = F$$ 이므로 성립합니다. 역방향 또한 같은 방식으로 증명할 수 있습니다.