다항식의 근

가환환 $R$ 과 $f(x) \in R[x]$ 에 대해, $f(a) = 0_R$ 인 $a \in R$ 을 $f(x)$ 의 근이라고 부른다.

 

위에 정의된 다항식의 근을 이용하면 다항식을 좀 더 면밀하게 분석할 수 있습니다.

 

체 $F$ 와 $f(x) \in F[x]$ 에 대해, 임의의 $a \in F$ 를 잡으면 $f(x)$ 를 $x-a$ 로 나눈 나머지는 $f(a)$ 이다.

 

Proof

나눗셈 정리에 의해, $$f(x) = (x-a)q(x) + r(x)$$ 이고 $r(x) = 0_F$ 이거나 $\deg r = 0$ 인 $q(x), r(x) \in F[x]$ 가 존재합니다. 따라서 어떤 $c \in F$ 에 대해 $r(x) = c$ 라 둘 수 있고, $f(x) = (x-a)q(x) + c$ 입니다. 따라서 양 변에 $x = a$ 를 대입하여 $f(a) = c$ 를 얻어 증명이 완성됩니다.

 

체 $F$ 와 $f(x) \in F[x]$ 에 대해, $(x-a) \mid f(x)$ 인 것과 $a$ 가 $f(x)$ 의 근인 것은 동치이다.

 

이에 대한 증명은 어렵지 않으므로 생략하고, 위 정리에서 얻을 수 있는 따름정리를 소개하겠습니다.

 

체 $F$ 와 $\deg f(x) = n$ 인 $f(x) \in F[x]$ 는 많아야 $n$ 개의 근을 가진다.

 

Proof

$f(x)$ 의 차수에 대한 귀납법을 통해 증명하겠습니다.

 

만약 $n = 0$ 이라면, $f(x)$ 는 $0_F$ 가 아닌 상수함수이고 따라서 $f(x)$ 의 근은 $0$ 개가 되어 참입니다.

이제 $\deg f(x) = k-1$ 일 때 참이라 두고, $\deg f(x) = k$ 일 때를 증명하겠습니다. 

 

만약 $f(x)$ 가 근을 가지지 않는다면, 근이 $k$ 개 이하임으로 명제가 참이 됩니다.

$f(x)$ 가 $a \in F$ 를 근으로 가진다면 위의 정리에 의해 $$f(x) = (x-a)g(x)$$ 로 쓸 수 있고, 만약 $f(x)$ 의 $a$ 가 아닌 근 $c$ 가 있다면 $f(c) = (c-a)g(c) = 0$ 인데 $c-a \neq 0_F$ 이고, 모든 체는 정역이므로 $g(c) = 0_F$ 입니다. $$k = \deg f(x) = \deg (x-a) + \deg g(x) = 1 + \deg g(x)$$ 이므로 $\deg g(x) = k-1$ 이고, 따라서 $g(x)$ 는 많아야 $k-1$ 개의 근을 가집니다. 따라서 $f(x)$ 는 많아야 $(k-1) + 1 = k$ 개의 근을 가지고, 수학적 귀납법에 의해 증명이 완성됩니다.

 

체 $F$ 와 $f(x) \in F[x]$ 에 대해, 만약 $\deg f(x) \geq 2$ 라면 (a) $f(x)$ 가 irreducible 할 때 $f(x)$ 는 근이 존재하지 않는다. (b) $f(x)$ 의 차수가 2 또는 3 이고 근이 존재하지 않는다면 $f(x)$ 는 irreducible 하다.

 

Proof

(a) 만약 $f(x)$ 가 irreducible 하다면, 어떤 $(x-a)$ 도 $f(x)$ 를 나눌 수 없습니다. 이는 곧 어떤 $a \in F$ 도 $f(x)$ 의 근이 될 수 없음을 의미합니다.

 

(b) $f(x)$ 가 근을 가지지 않는다면, $f(x)$ 는 $cx + d \in F[x]$ 로 나누어질 수 없습니다. (나누어진다면 $-c^{-1}d$ 를 근으로 가지기 때문) 따라서 만약 $f(x) = r(x)s(x)$ 라면 $r(x), s(x)$ 중 어떤 것도 차수가 1이 될 수 없고, 따라서 $r(x)$ 와 $s(x)$ 중 적어도 하나는 차수가 $0$ 이 되어야 합니다. 이는 곧 $f(x)$ 가 irreducible 함을 의미합니다.

 

무한체 $F$ 와 $f(x), g(x) \in F[x]$ 에 대해 $f(x)$ 와 $g(x)$ 가 모든 함숫값이 같은 것과 $f(x) = g(x)$ 임이 동치이다.

 

Proof

만약 $f(x)$ 와 $g(x)$ 가 모든 함숫값이 같다면 $f(a) - g(a) = 0_F$ 가 모든 $a \in F$ 에 대해 성립하고, 이는 곧 $F$ 의 모든 원소가 $f(x) - g(x)$ 의 근이 됨을 의미합니다. 그런데 $f(x) - g(x)$ 의 차수가 $n$ 이면 많아야 $n$ 개의 근을 가지므로 $f(x) - g(x) = 0_F$ 여야 하고, 따라서 $f(x) = g(x)$ 입니다. 역은 자명하게 성립합니다.

 

위 정리가 유한체 $F$ 에서는 성립하지 않을 수도 있다는 사실을 기억해주세요.