다항식의 나눗셈

 

체 $F$ 와 $f(x), g(x) \in F[x]$ 에 대해, 다항식 $q(x), r(x)$ 가 유일하게 존재해서 (단, $q(x) \neq 0_F$) $$f(x)=g(x)q(x)+r(x), \quad r(x) = 0_F\;\text{ or }\; \deg r(x) < \deg g(x)$$ 이다.

 

Proof

만약 $f(x) = 0_F$ 이거나 $\deg f(x) < \deg g(x)$ 이면 $q(x) = 0_F$, $r(x) = f(x)$ 라 두면 됩니다.

만약 $f(x) \neq 0_F$ 이고 $\deg g(x) \leq \deg f(x)$ 이면, $\deg f(x)$ 에 대한 귀납법을 사용하겠습니다.

 

$\deg f(x) = 0$ 이면 $\deg g(x) = 0$ 입니다. 그러면 $0_F$ 가 아닌 $a, b\in F$ 에 대해 $f(x) =a$, $g(x) = b$ 이고 $F$ 가 체이므로 $a = b(b^{-1}a)+0_F$ 가 성립하게 되어 $q(x) = b^{-1}a$, $r(x) = 0_F$ 라 두면 됩니다.

 

이제 $\deg f(x) < n$ 이면 주어진 정리가 성립한다고 가정하겠습니다. 이제 $\deg f(x) = n$ 일 때를 보이면 수학적 귀납법이 성립합니다. $$f(x) = a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0,\quad a_n \neq 0_F$$ 라 하면 $$g(x) = b_m x^m + \cdots + b_1 x + b_0, \quad b_m \neq 0_F,\quad m \leq n$$ 이 성립해야 합니다. $F$ 가 체이고 $b_m \neq 0$ 이므로 $g(x)$ 에 $a_n b_{m}^{-1} x^{n-m}$ 을 곱하면 $$\begin{align*}a_n b_{m}^{-1} g(x) &= a_n b_m^{-1} x^{n-m} (b_m x^m + \cdots + b_0) \\ &= a_n x^n + a_n b_m^{-1} b_{m-1}x^{n-1}+\cdots + a_n b_m^{-1}b_0 x^{n-m}\end{align*}$$ 을 얻습니다. 그러므로 $f(x) - a_n b_m^{-1}g(x)$ 는 차수가 $n$ 보다 작거나 $0_F$ 가 됩니다. 이제 귀납 가정을 사용하면 $$f(x) - a_n b_m^{-1} x^{n-m}g(x) = g(x) q_1 (x) + r(x), \quad r(x)= 0_F \;\text{ or }\; \deg r(x) < \deg g(x)$$ 이를 다시 쓰면 $$f(x) = g(x)\left[a_n b_m^{-1} + q_1 (x)\right] + r(x) \quad r(x) = 0_F \;\text{ or }\; \deg r(x) < \deg g(x)$$ 입니다. 따라서 수학적 귀납법에 의해 $f(x) = g(x)q(x) + r(x)$ 로 표현할 수 있음이 증명됩니다.

 

이제 $q(x)$ 와 $r(x)$ 의 유일성을 증명하겠습니다. 만약 두 가지 표현이 존재하여 $$f(x) = g(x)q_1 (x) + r_1 (x) \quad r_1 (x) = 0_F \;\text{ of }\; \deg r_1 (x) < \deg g(x)$$ 도 성립한다고 가정하겠습니다. 그러면 $$g(x)\left[q(x) - q_1 (x)\right] = r_1 (x) - r(x)$$ 가 성립합니다. $q(x) - q_1 (x) \neq 0_F$ 라면 좌변의 차수는 $\deg g(x) + \deg \left[q(x) - q_1 (x) \right]$ 이 되는데, 우변의 차수는 분명히 $\deg g(x)$ 보다 작게 되어 모순입니다. 따라서 $q(x) - q_1 (x) = 0_F$ 이고, 이를 다시 쓰면 $q(x) = q_1 (x)$ 가 됩니다. 이는 곧 $r(x) = r_1 (x)$ 를 의미하고, 따라서 $q(x)$ 와 $r(x)$ 는 유일하게 존재합니다.