다항식

흔히 다항식이라고 하면 계수가 정수인 $4x^4 - x +1$ 과 같은 것을 떠올리고는 합니다. 이를 조금 일반화하여, 환에서의 다항식을 생각하겠습니다.

 

환 $R$ 에 대해, 계수가 $R$ 의 원소인 다항식(polynomial with coefficients in $R$) 은 $$a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots + a_n x^n$$ 과 같은 것이다. (즉, $a_i \in R$ 이다)

 

이 때, 어떤 환 $R$ 이 주어지면 다항식으로 이루어진 확장된 환을 생각할 수 있습니다.

 

환 $R$ 에 대해 특별한 원소 $x$ 를 가지는 $R[x]$ 라는 환이 존재하여 아래 조건을 만족한다. (a) 모든 $a \in R$ 에 대해 $xa = ax$ (b) $R[x]$ 의 모든 원소는 아래의 꼴로 쓸 수 있다. $$a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots +a_n x^n,\quad n\geq 0, \quad a_i \in R$$ (c) $R[x]$ 의 원소를 (b) 처럼 표현하는 방법은 유일하다.

 

여기서 $R[x]$ 의 원소를 polynomial, $x$ 를 interminate 라 부릅니다.

 

$R[x]$ 를 환이라고 이야기하려면 다항식의 합과 곱을 정의할 필요가 있습니다.

 

$R[x]$ 의 원소에 대해, 합과 곱을 다음과 같이 정의한다. $$\left(\sum_{k=0}^{n}a_k x^k\right) +\left( \sum_{k=0}^{n}b_k x^k\right) = \sum_{k=0}^{n}(a_k + b_k)x^k$$ $$\left( \sum_{k=0}^{n}a_k x^k \right) \left( \sum_{k=0}^{n} b_k x^k \right) = \sum_{k=0}^{n}c_k x^k$$ 이 때, $c_k$ 의 정의는 아래와 같다. $$c_k = \sum_{i=0}^{k}a_i b_{k-i}$$

 

추가로 $\displaystyle f(x) = \sum_{k=0}^{n} a_k x^k$ 가 $a_n \neq 0_R$ 인 $R[x]$ 의 원소일 때, $a_n$ 을 $f(x)$ 의 Leading coefficient(최고차항 계수) 라 부릅니다. 또, $f(x)$ 의 degree(차수) 는 $\deg f(x)$ 라 쓰고 $0_R$ 이 아닌 계수를 가지는 가장 큰 $x$ 의 지수를 의미합니다.

 

$R$ 이 정역이고 $f, g$ 가 $R[x]$ 의 $0$ 이 아닌 원소일 때, $$\deg [f(x)g(x)] = \deg f(x) + \deg g(x)$$ 가 성립한다.

 

Proof

$\displaystyle f(x) = \sum_{k=0}^{n}a_k x^k$, $\displaystyle g(x) = \sum_{k=0}^{m} b_k x^k$ 라 하겠습니다. (단, $a_n \neq 0_R, b_n \neq 0_R$) 이 때, $$f(x)g(x) = a_0 b_0 + (a_0 b_1 + a_1 b_0 ) x + (a_2 b_0 + a_1 b_1 + a_0 b_2 )x^2 + \cdots + (a_n b_m) x^{n+m}$$ 이 성립합니다. 그런데 $R$ 이 정역이므로 $a_n b_m \neq 0_R$ 입니다. 따라서 $$\deg [f(x)g(x)] = n + m = \deg f(x) + \deg g(x)$$ 입니다.

 

위 정리의 따름정리로 다음을 얻습니다.

 

$R$ 이 정역이라면 $R[x]$ 도 정역이다.

 

Proof

$R$ 이 가환환이므로, $R[x]$ 도 가환환이 됨은 쉽게 보일 수 있습니다. 또, 바로 위의 정리에 의해 $0_R$ 이 아닌 두 $R[x]$ 의 원소를 곱하면 $0_R$ 이 될 수 없습니다. 따라서 $R[x]$ 는 정역입니다.

 

 

또 증명을 잘 보면 다음과 같은 명제도 자연스럽게 얻을 수 있습니다.

 

$f, g$ 가 $0_R$ 이 아닌 $R[x]$ 의 원소일 때, $$\deg [f(x)g(x)]\leq \deg f(x) + \deg g(x)$$ 가 성립한다.