기체분자운동론

한 변의 길이가 $L$ 인 정육면체 상자를 고려하겠습니다. $x$ 방향 속도가 $v_x$ 이던 입자는 벽에 충돌하면 속도가 $-v_x$ 로 바뀌게 됩니다. 즉, 운동량의 변화는 $\Delta p_x= 2mv_x$ 입니다. 또 입자는 $x$ 방향 길이 $L$ 을 왕복하므로 다시 같은 벽에 충돌하기까지 걸리는 시간은 $\Delta t = 2L/v_x$ 입니다. 따라서 벽이 입자에게 가하는 평균 힘은 $$F = \dfrac{\Delta p_x}{\Delta t} =\dfrac{mv_x^2}{L}$$ 입니다. 이를 $N$ 개의 분자에 대해서 더하면, 벽이 받는 평균 힘은 $$F = \dfrac{Nm\langle v_x^2 \rangle}{L}$$ 이 됩니다. 이는 $y, z$ 방향에 대해서도 같은 식이 되고, 따라서 세 방향의 벽이 받는 평균힘은 $$F = \dfrac{Nm\langle v^2 \rangle}{3L}$$ 이 됩니다. 압력은 기본적으로 단위 면적당 힘이므로, 힘을 $L^2$ 으로 나누면 $$p = \dfrac{Nm \langle v^2 \rangle}{3L^2}= \dfrac{Nm\langle v^2\rangle}{3V}$$ 가 됩니다. 그리고 여기에 이상기체상태방정식을 적용하면 $$\dfrac{1}{2}m\langle v^2 \rangle = \dfrac{3}{2}k_B T$$ 를 얻어 앞서 partition function 으로 유도한 결과와 같습니다.

 

 

이와 같은 접근 방식을 기체분자운동론(kinetic theory)이라고 합니다.