소수 정리를 의미하는 명제

우선 함수 $A(x)$ 를 다음과 같이 정의하겠습니다.

 

$$A(x) = \sum_{n\leq x}\frac{\mu (n)}{n}$$

 

이 때, 다음의 정리가 성립합니다.

 

만약 $A(x) = o(1)$ 이라면, 소수 정리는 참이다.

 

Proof

위의 정리가 $M(x) = o(x)$ 라는 것을 보이면 $\psi (x) \sim x$ 이고, 이는 소수정리와 동치이므로 증명됩니다. 아벨 항등식에 의해 $$M(x) = \sum_{n\leq x}\mu (n) = \sum_{n\leq x}\frac{\mu (n)}{n}n = xA(x) - \int_{1}^{x}A(t)dt$$ 이므로 $$\frac{M(x)}{x} = A(x) - \frac{1}{x}\int_{1}^{x}A(t)dt$$ 입니다. 따라서 $$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}\int_{1}^{x}A(t)dt= 0$$ 임을 보이면 증명이 완성됩니다. $A(x) = o(1)$ 을 가정했으므로 임의의 양수 $\epsilon > 0$ 에 대해 어떤 $c$ 가 존재해서 $\left\vert A(x)\right\vert < \epsilon$ 이 $x \geq c$ 일 때 성립합니다. 또, $\left\vert A(x) \right\vert < 1$ 이 모든 $x \geq 1$ 에 대해 성립하므로 $$\left\vert \frac{1}{x}\int_{1}^{x} A(t)dt\right\vert \leq \left \vert \frac{1}{x}\int_{1}^{c}A(t)dt\right\vert + \left\vert \frac{1}{x}\int_{c}^{x}A(t)dt \right\vert < \frac{c-1}{x}+ \frac{\epsilon (c - 1)}{x}$$ 입니다. 따라서 $$\limsup_{x\rightarrow\infty} \left\vert \frac{1}{x}\int_{1}^{x} A(t)dt \right\vert < \epsilon$$ 이 되고, 증명이 완성됩니다.